Przejdź do treści
Czas Matematyki

Karta wzorów

Wyszukiwarka wzorów

Karta wzorów

Najważniejsze wzory maturalne

Skrócona karta wzorów oparta na oficjalnym zestawie CKE. To ma być szybka pomoc podczas powtórek, dlatego wzory są pogrupowane działami.

Wartość bezwzględna

Definicja i własności

∣x∣={x,x≥0−x,x<0|x|=\begin{cases}x,\quad x\ge 0\\-x,\quad x<0\end{cases}
∣x∣≥0,∣x∣=0  ⟺  x=0,∣−x∣=∣x∣|x|\ge 0,\quad |x|=0\iff x=0,\quad |-x|=|x|
∣x+y∣≤∣x∣+∣y∣,∣xy∣=∣x∣⋅∣y∣|x+y|\le |x|+|y|,\quad |xy|=|x|\cdot|y|
∣xy∣=∣x∣∣y∣,y≠0\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|},\quad y\ne 0

Nierówności z wartością bezwzględną

∣x−a∣≤r  ⟺  a−r≤x≤a+r|x-a|\le r\iff a-r\le x\le a+r
∣x−a∣≥r  ⟺  x≤a−r lub x≥a+r|x-a|\ge r\iff x\le a-r\ \text{lub}\ x\ge a+r

Zakładamy r >= 0.

Potęgi i pierwiastki

Definicje

an=a⋅a⋅…⋅a⏟n razya^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\ \text{razy}}
a−n=1an,a≠0a^{-n}=\frac{1}{a^n},\quad a\ne 0
a0=1,a≠0a^0=1,\quad a\ne 0
amn=amn,a≥0a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m},\quad a\ge 0
a−mn=1amn,a>0a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}},\quad a>0
a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a|

Działania na potęgach

ar⋅as=ar+sa^r\cdot a^s=a^{r+s}
aras=ar−s\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}
(ar)s=ars(a^r)^s=a^{rs}
(ab)r=arbr(ab)^r=a^r b^r
(ab)r=arbr\left(\frac{a}{b}\right)^r=\frac{a^r}{b^r}

Logarytmy

Definicja

log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b=c\iff a^c=b
alog⁡ab=ba^{\log_a b}=b

Warunki: a > 0, a != 1, b > 0.

Własności logarytmów

log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y
log⁡a(xy)=log⁡ax−log⁡ay\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y
log⁡axr=rlog⁡ax\log_a x^r=r\log_a x
log⁡bc=log⁡aclog⁡ab\log_b c=\frac{\log_a c}{\log_a b}
log⁡ab=1log⁡ba\log_a b=\frac{1}{\log_b a}

Kombinatoryka

Silnia i symbol Newtona

n!=1⋅2⋅…⋅n,0!=1n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n,\quad 0!=1
(n+1)!=n!(n+1)(n+1)!=n!(n+1)
(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
(n0)=1,(n1)=n,(nn)=1\binom{n}{0}=1,\quad \binom{n}{1}=n,\quad \binom{n}{n}=1
(nk)=(nn−k)\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}

Permutacje, wariacje, kombinacje

Pn=n!P_n=n!
Vnk=n!(n−k)!V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}
Cnk=(nk)C_n^k=\binom{n}{k}

Wzory skróconego mnożenia

Kwadraty i sześciany

(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

Dwumian Newtona

(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k

Funkcja kwadratowa

Delta i miejsca zerowe

f(x)=ax2+bx+c,a≠0f(x)=ax^2+bx+c,\quad a\ne 0
Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac
x1=−b−Δ2a,x2=−b+Δ2ax_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
Δ=0⇒x0=−b2a\Delta=0\Rightarrow x_0=\frac{-b}{2a}

Wierzchołek i postacie funkcji

W=(p,q),p=−b2a,q=−Δ4aW=(p,q),\quad p=\frac{-b}{2a},\quad q=\frac{-\Delta}{4a}
f(x)=a(x−p)2+qf(x)=a(x-p)^2+q
f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

Ciągi

Ciąg arytmetyczny

an=a1+(n−1)ra_n=a_1+(n-1)r
Sn=a1+an2⋅nS_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n
Sn=2a1+(n−1)r2⋅nS_n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}\cdot n

Ciąg geometryczny

an=a1qn−1a_n=a_1q^{n-1}
Sn=a11−qn1−q,q≠1S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q},\quad q\ne 1
Sn=na1,q=1S_n=na_1,\quad q=1

Trygonometria

Trójkąt prostokątny

sin⁡α=przyprostokątna naprzeciw αprzeciwprostokątna\sin\alpha=\frac{\text{przyprostokątna naprzeciw }\alpha}{\text{przeciwprostokątna}}
cos⁡α=przyprostokątna przy αprzeciwprostokątna\cos\alpha=\frac{\text{przyprostokątna przy }\alpha}{\text{przeciwprostokątna}}
tg⁡α=sin⁡αcos⁡α\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Tożsamości

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1
1+tg⁡2α=1cos⁡2α1+\tg^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}
sin⁡(180∘−α)=sin⁡α\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha
cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha

Pole trójkąta

P=12absin⁡γP=\frac{1}{2}ab\sin\gamma

Planimetria

Trójkąty

P=12ahP=\frac{1}{2}ah
P=p(p−a)(p−b)(p−c),p=a+b+c2P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\quad p=\frac{a+b+c}{2}
a2+b2=c2a^2+b^2=c^2
P=prP=pr
P=abc4RP=\frac{abc}{4R}

Czworokąty i koło

Proˊwnoległoboku=ahP_{\text{równoległoboku}}=ah
Prombu=d1d22P_{\text{rombu}}=\frac{d_1d_2}{2}
Ptrapezu=a+b2⋅hP_{\text{trapezu}}=\frac{a+b}{2}\cdot h
Pkoła=πr2P_{\text{koła}}=\pi r^2
Lokręgu=2πrL_{\text{okręgu}}=2\pi r

Geometria analityczna

Punkty, prosta i okrąg

∣AB∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}
S=(xA+xB2,yA+yB2)S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)
a=yB−yAxB−xAa=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}
y=ax+by=ax+b
(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Stereometria

Graniastosłupy i ostrosłupy

Vgraniastosłupa=Pp⋅HV_{\text{graniastosłupa}}=P_p\cdot H
Pc=2Pp+PbP_c=2P_p+P_b
Vostrosłupa=13Pp⋅HV_{\text{ostrosłupa}}=\frac{1}{3}P_p\cdot H
Pc=Pp+PbP_c=P_p+P_b

Bryły obrotowe

Vwalca=πr2HV_{\text{walca}}=\pi r^2H
Pcwalca=2πr2+2πrHP_c^{\text{walca}}=2\pi r^2+2\pi rH
Vstoz˙ka=13πr2HV_{\text{stożka}}=\frac{1}{3}\pi r^2H
Pcstoz˙ka=πr2+πrlP_c^{\text{stożka}}=\pi r^2+\pi rl
Vkuli=43πr3V_{\text{kuli}}=\frac{4}{3}\pi r^3
Pkuli=4πr2P_{\text{kuli}}=4\pi r^2

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo

P(A)=∣A∣∣Ω∣P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}
P(A′)=1−P(A)P(A')=1-P(A)
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Statystyka

x‾=x1+x2+…+xnn\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}
R=xmax⁡−xmin⁡R=x_{\max}-x_{\min}
x‾w=x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn\overline{x}_{w}=\frac{x_1w_1+x_2w_2+\ldots+x_nw_n}{w_1+w_2+\ldots+w_n}

Pochodna funkcji

Podstawowe pochodne

(c)′=0(c)'=0
(x)′=1(x)'=1
(xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1}
(f+g)′=f′+g′(f+g)'=f'+g'
(cf)′=cf′(cf)'=cf'

Interpretacja

f′(x0)=tg⁡αf'(x_0)=\tg\alpha

Pochodna w punkcie jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu.

Tablica wartości trygonometrycznych

Najważniejsze kąty

sin⁡0∘=0,sin⁡30∘=12,sin⁡45∘=22,sin⁡60∘=32,sin⁡90∘=1\sin 0^\circ=0,\quad \sin 30^\circ=\frac{1}{2},\quad \sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},\quad \sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\quad \sin 90^\circ=1
cos⁡0∘=1,cos⁡30∘=32,cos⁡45∘=22,cos⁡60∘=12,cos⁡90∘=0\cos 0^\circ=1,\quad \cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},\quad \cos 60^\circ=\frac{1}{2},\quad \cos 90^\circ=0
tg⁡0∘=0,tg⁡30∘=33,tg⁡45∘=1,tg⁡60∘=3\tg 0^\circ=0,\quad \tg 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3},\quad \tg 45^\circ=1,\quad \tg 60^\circ=\sqrt3
Źródło układu działów: oficjalne „Wybrane wzory matematyczne na egzamin maturalny z matematyki” CKE. Warto traktować tę kartę jako wygodną wersję do nauki w aplikacji, a przed egzaminem sprawdzić aktualny dokument CKE.