Funkcja liniowa

Proporcjonalność prosta, wykres i własności funkcji liniowej, równania, nierówności, układy równań oraz ich zastosowania.

Przejdź do quizu Zagraj w dziale Gry

Zależność dwóch wielkości

Proporcjonalność prosta

Definicja

Wielkości wprost proporcjonalne

Dwie zmienne są wprost proporcjonalne, gdy ich iloraz jest stały. Zależność ma postać:

y=ax,\qquad a\ne0

Liczba $a$ jest współczynnikiem proporcjonalności. Wykres zawsze przechodzi przez punkt $(0,0)$ .

Przykład

Koszt zakupów

Jeden kilogram produktu kosztuje 4,80 zł. Dla $x$ kilogramów:

y=4{,}8x

Podwojenie masy podwaja koszt.

Przykład

Droga przy stałej prędkości

Przy prędkości 12 km/h droga po czasie $t$ wynosi:

s=12t

Warto zapamiętać

Sam wzór liniowy nie zawsze opisuje proporcjonalność prostą. Potrzebna jest postać $y=ax$ , czyli wyraz wolny musi być równy zero.

Prosta w układzie współrzędnych

Funkcja liniowa i jej wykres

Definicja

Funkcja liniowa

f(x)=ax+b,\qquad a,b\in\mathbb R

Jej wykresem jest prosta. Do narysowania prostej wystarczą dwa różne punkty.

Zasada

Szybki sposób szkicowania

oblicz $f(0)=b$ ,
wybierz drugi wygodny argument, np. $x=1$ ,
zaznacz oba punkty i poprowadź przez nie prostą.

y=x+2

y=−0,5x−1

Dwie funkcje liniowe o różnych współczynnikach kierunkowych i wyrazach wolnych.

Najważniejsze informacje z wykresu

Miejsce zerowe i własności funkcji liniowej

Zasada

Miejsce zerowe

Dla $a\ne0$ rozwiązujemy równanie $ax+b=0$ :

x_0=-\frac ba

Gdy $a=0$ , funkcja stała $f(x)=b$ ma albo zero miejsc zerowych ( $b\ne0$ ), albo nieskończenie wiele ( $b=0$ ).

Przykład

Miejsce zerowe i znak

f(x)=2x-6

2x-6=0\Longrightarrow x_0=3

Funkcja jest ujemna dla $x<3$ i dodatnia dla $x>3$ .

Przykład

Odczytywanie własności

Dla funkcji $g(x)=-3x+6$ dziedziną i zbiorem wartości są liczby rzeczywiste, funkcja jest malejąca, a jej miejsce zerowe to $2$ .

Rola parametrów a i b

Znaczenie współczynników we wzorze

Zasada

Współczynnik kierunkowy a

$a>0$ — funkcja rośnie,
$a<0$ — funkcja maleje,
$a=0$ — funkcja jest stała.

Zmiana argumentu o 1 powoduje zmianę wartości o $a$ .

Zasada

Wyraz wolny b

Punkt przecięcia z osią $OY$ ma współrzędne $(0,b)$ . Zwiększenie $b$ przesuwa prostą równolegle w górę.

b=−2

b=0

b=2

Ten sam współczynnik a daje proste równoległe; zmienia się tylko punkt przecięcia z osią OY.

Od danych do wzoru

Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej

Zasada

Prosta przez dwa punkty

Dla punktów $A(x_1,y_1)$ i $B(x_2,y_2)$ , gdzie $x_1\ne x_2$ :

a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\qquad b=y_1-ax_1

Przykład

Wzór prostej przechodzącej przez A(−1,4) i B(3,−2)

a=\frac{-2-4}{3-(-1)}=-\frac32

4=-\frac32\cdot(-1)+b\Longrightarrow b=\frac52

f(x)=-\frac32x+\frac52

Wzajemne położenie prostych

Proste równoległe

Zasada

Warunek równoległości

y=a_1x+b_1\quad\text{i}\quad y=a_2x+b_2

a_1=a_2

Jeśli dodatkowo $b_1\ne b_2$ , proste są różne i nie mają punktu wspólnego. Gdy również $b_1=b_2$ , pokrywają się.

Przykład

Prosta równoległa przechodząca przez punkt

Szukamy prostej równoległej do $y=2x-5$ i przechodzącej przez $P(3,4)$ .

y=2x+b,\qquad 4=2\cdot3+b,\qquad b=-2

y=2x-2

Model matematyczny

Zastosowania funkcji liniowej

Zasada

Jak budować model

nazwij zmienną i podaj jej jednostkę,
odnajdź wielkość początkową — to zwykle wyraz $b$ ,
ustal zmianę przypadającą na jednostkę — to współczynnik $a$ ,
zapisz dziedzinę wynikającą z kontekstu i sprawdź sens wyniku.

Przykład

Temperatura w różnych skalach

F(C)=\frac95C+32

Dla $C=20$ otrzymujemy $F=68$ .

Przykład

Koszt przejazdu

Opłata początkowa wynosi 8 zł, a każdy kilometr kosztuje 3,20 zł:

K(x)=3{,}2x+8,\qquad x\ge0

Jedna niewiadoma

Równania i nierówności liniowe

Definicja

Równanie liniowe

ax+b=0

$a\ne0$ — dokładnie jedno rozwiązanie,
$a=0,b=0$ — równanie tożsamościowe,
$a=0,b\ne0$ — równanie sprzeczne.

Zasada

Nierówność liniowa

Podczas mnożenia lub dzielenia obu stron przez liczbę ujemną odwracamy znak nierówności.

Przykład

Równanie

3(x-2)+5=2x+7

3x-1=2x+7\Longrightarrow x=8

Przykład

Nierówność

5-2x\ge11

-2x\ge6\Longrightarrow x\le-3

Prosty moduł w zakresie podstawowym

Równanie $|x-a|=r$ dla $r\ge0$ opisuje liczby odległe od $a$ o $r$ . Na przykład $|x-4|=3$ daje $x=1$ lub $x=7$ .

Dwie niewiadome

Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi

Definicja

Równanie prostej w postaci ogólnej

ax+by=c,\qquad (a,b)\ne(0,0)

Rozwiązaniami są wszystkie pary $(x,y)$ leżące na jednej prostej.

Przykład

Parametryzacja rozwiązań

2x+y=6\Longleftrightarrow y=6-2x

Dla dowolnego $t\in\mathbb R$ para $(t,6-2t)$ jest rozwiązaniem.

Dwa warunki jednocześnie

Układy równań liniowych

Definicja

Interpretacja geometryczna

proste przecinają się — układ oznaczony, jedno rozwiązanie,
proste są różne i równoległe — układ sprzeczny,
proste pokrywają się — układ nieoznaczony.

y=x+1y=−x+3

Punkt przecięcia prostych jest rozwiązaniem układu równań.

Przykład

Metoda podstawiania

\begin{cases}y=2x+1\\x+y=7\end{cases}

x+(2x+1)=7\Longrightarrow x=2,\ y=5

Przykład

Metoda przeciwnych współczynników

\begin{cases}2x+3y=12\\2x-y=4\end{cases}

4y=8\Longrightarrow y=2,\ x=3

Zadania tekstowe

Zastosowania układów równań

Zasada

Schemat rozwiązania

oznacz niewiadome,
zapisz dwa niezależne warunki,
rozwiąż układ,
sprawdź jednostki i sens odpowiedzi.

Przykład

Dwa rodzaje biletów

Sprzedano łącznie 30 biletów po 18 zł i 12 zł, uzyskując 480 zł. Niech $x$ i $y$ oznaczają liczby biletów.

\begin{cases}x+y=30\\18x+12y=480\end{cases}

x=20,\qquad y=10

Funkcja liniowa

Proporcjonalność prosta

Wielkości wprost proporcjonalne

Koszt zakupów

Droga przy stałej prędkości

Funkcja liniowa i jej wykres

Funkcja liniowa

Szybki sposób szkicowania

Miejsce zerowe i własności funkcji liniowej

Miejsce zerowe

Miejsce zerowe i znak

Odczytywanie własności

Znaczenie współczynników we wzorze

Współczynnik kierunkowy a

Wyraz wolny b

Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej

Prosta przez dwa punkty

Wzór prostej przechodzącej przez A(−1,4) i B(3,−2)

Proste równoległe

Warunek równoległości

Prosta równoległa przechodząca przez punkt

Zastosowania funkcji liniowej

Jak budować model

Temperatura w różnych skalach

Koszt przejazdu

Równania i nierówności liniowe

Równanie liniowe

Nierówność liniowa

Równanie

Nierówność

Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi

Równanie prostej w postaci ogólnej

Parametryzacja rozwiązań

Układy równań liniowych

Interpretacja geometryczna

Metoda podstawiania

Metoda przeciwnych współczynników

Zastosowania układów równań

Schemat rozwiązania

Dwa rodzaje biletów

Sprawdź zakres podstawowy

1. Który wzór opisuje proporcjonalność prostą?

2. Funkcja f(x)=−3x+5 jest:

3. Miejsce zerowe funkcji f(x)=2x−8 to:

4. Wykres y=5x−2 przecina oś OY w punkcie:

5. Współczynnik kierunkowy prostej przez A(1,2) i B(3,8) wynosi:

6. Która prosta jest równoległa do y=−2x+7?

7. Rozwiązaniem nierówności −3x>12 jest:

8. Równanie 4x+2=4x+2 ma:

9. Układ y=x+1 oraz y=−x+5 ma rozwiązanie:

10. Dwie różne proste o tym samym współczynniku kierunkowym tworzą układ: