Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Funkcja kwadratowa

Parabola, postacie funkcji kwadratowej, równania, nierówności, optymalizacja oraz zastosowania; na rozszerzeniu także wzory Viète’a, parametry i wartość bezwzględna.

Przejdź do quizuZagraj w dziale Gry

Parabola od podstaw

Funkcja y=ax²

Definicja

Funkcja kwadratowa

f(x)=ax2+bx+c,a≠0f(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\ne0

Jej wykresem jest parabola. W funkcji y=ax2y=ax^2 wierzchołkiem jest punkt (0,0)(0,0), a osią symetrii oś OYOY.

Zasada

Co mówi współczynnik a?

  • a>0a>0 — ramiona są skierowane w górę,
  • a<0a<0 — ramiona są skierowane w dół,
  • im większe ∣a∣|a|, tym węższa parabola.

a>0

xy

a<0

xy
Znak współczynnika a decyduje o kierunku ramion paraboli.

Wierzchołek widoczny od razu

Postać kanoniczna

Definicja

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

f(x)=a(x−p)2+qf(x)=a(x-p)^2+q

Wierzchołek ma współrzędne W=(p,q)W=(p,q), a oś symetrii ma równanie x=px=p.

y=(x−1)²−2

xy

W(1,−2) · oś x=1

Wykres y=(x−1)²−2 ma wierzchołek W=(1,−2) i oś symetrii x=1.

Przykład

Wyznacz wzór z wierzchołka i punktu

Parabola ma wierzchołek W=(2,−3)W=(2,−3) i przechodzi przez A=(0,5)A=(0,5).

f(x)=a(x−2)2−3,5=4a−3f(x)=a(x-2)^2-3,\qquad 5=4a-3
a=2,f(x)=2(x−2)2−3a=2,\qquad f(x)=2(x-2)^2-3

Trzy równoważne zapisy

Od postaci ogólnej do kanonicznej

Zasada

Współrzędne wierzchołka

p=−b2a,Δ=b2−4ac,q=−Δ4ap=-\frac{b}{2a},\qquad \Delta=b^2-4ac,\qquad q=-\frac{\Delta}{4a}

Możemy też wyłączyć współczynnik aa i uzupełnić wyrażenie do kwadratu.

Przykład

Uzupełnianie do kwadratu

2x2−8x+5=2(x2−4x)+52x^2-8x+5=2(x^2-4x)+5
=2((x−2)2−4)+5=2(x−2)2−3=2\big((x-2)^2-4\big)+5=2(x-2)^2-3

Zatem W=(2,−3)W=(2,−3).

Przecięcia z osią OX

Miejsca zerowe i postać iloczynowa

Zasada

Wyróżnik i liczba miejsc zerowych

Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac
  • Δ>0\Delta>0 — dwa miejsca zerowe,
  • Δ=0\Delta=0 — jedno podwójne miejsce zerowe,
  • Δ<0\Delta<0 — brak miejsc zerowych rzeczywistych.
x1,2=−b∓Δ2ax_{1,2}=\frac{-b\mp\sqrt{\Delta}}{2a}

Definicja

Postać iloczynowa

f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

Istnieje w tej postaci, gdy funkcja ma dwa miejsca zerowe; przy jednym zapisujemy a(x−x0)2a(x-x_0)^2.

Przykład

Od delty do iloczynu

x2−5x+6:Δ=1,x1=2,x2=3x^2-5x+6:\quad \Delta=1,\quad x_1=2,\quad x_2=3
x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2-5x+6=(x-2)(x-3)

Wszystko na jednym szkicu

Szkicowanie wykresu i odczytywanie własności

Zasada

Kolejność pracy

  1. sprawdź znak aa,
  2. wyznacz wierzchołek i oś symetrii,
  3. oblicz miejsca zerowe, jeśli istnieją,
  4. zaznacz przecięcie z osią OYOY: punkt (0,c)(0,c),
  5. odczytaj zbiór wartości, monotoniczność i znaki.

Przykład

Pełna analiza funkcji

f(x)=−x2+4x−3=−(x−2)2+1f(x)=-x^2+4x-3=-(x-2)^2+1

Wierzchołek to W=(2,1)W=(2,1), miejsca zerowe: 11 i 33. Funkcja rośnie do x=2x=2, potem maleje, a jej zbiór wartości to (−∞,1](-\infty,1].

Ekstrema z ograniczoną dziedziną

Najmniejsza i największa wartość na przedziale

Zasada

Sprawdź najwyżej trzy argumenty

Na przedziale [a,b][a,b] obliczamy wartości na obu końcach oraz w wierzchołku, jeśli p∈[a,b]p\in[a,b].

apb
Na przedziale domkniętym sprawdzamy wierzchołek, jeśli należy do przedziału, oraz oba końce.

Przykład

Funkcja na przedziale [0,5]

f(x)=(x−2)2−1f(x)=(x-2)^2-1
f(0)=3,f(2)=−1,f(5)=8f(0)=3,\qquad f(2)=-1,\qquad f(5)=8

Wartość najmniejsza to −1−1, a największa 88.

Najlepszy możliwy wynik

Zadania optymalizacyjne

Zasada

Model kwadratowy

  1. wybierz zmienną i określ jej dopuszczalne wartości,
  2. zapisz wielkość optymalizowaną jako funkcję tej zmiennej,
  3. znajdź wierzchołek i sprawdź, czy należy do dziedziny,
  4. odpowiedz wraz z jednostką i interpretacją.

Przykład

Największe pole prostokąta

Obwód prostokąta wynosi 20, więc boki mają długości xx oraz 10−x10−x, gdzie 0<x<100<x<10.

P(x)=x(10−x)=−(x−5)2+25P(x)=x(10-x)=-(x-5)^2+25

Największe pole wynosi 2525 i otrzymujemy je dla kwadratu o boku 55.

Równanie drugiego stopnia

Równania kwadratowe

Definicja

Równanie kwadratowe

ax2+bx+c=0,a≠0ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0

Rozwiązaniami są miejsca zerowe odpowiadającej mu funkcji kwadratowej.

Zasada

Dobierz najkrótszą metodę

Najpierw szukaj wspólnego czynnika lub wzoru skróconego mnożenia. Dopiero potem licz deltę. Równanie można też rozwiązać graficznie jako problem przecięcia wykresów.

Przykład

Równanie z deltą

2x2−3x−2=0,Δ=252x^2-3x-2=0,\qquad \Delta=25
x1=−12,x2=2x_1=-\frac12,\qquad x_2=2

Znak trójmianu

Nierówności kwadratowe

Zasada

Rozwiązanie z wykresu

  1. przenieś wszystkie wyrazy na jedną stronę,
  2. znajdź miejsca zerowe,
  3. ustal kierunek ramion,
  4. wybierz przedziały nad lub pod osią OXOX, zgodnie ze znakiem nierówności.

Przykład

Kiedy iloczyn jest niedodatni?

x2−5x+4≤0⟺(x−1)(x−4)≤0x^2-5x+4\le0\Longleftrightarrow(x-1)(x-4)\le0
x∈[1,4]x\in[1,4]

Końce należą do rozwiązania, bo nierówność jest nieostra.

Matematyka w kontekście

Zastosowania równań i nierówności kwadratowych

Zasada

Kontrola odpowiedzi

Rozwiązanie równania to dopiero kandydat. W zadaniach o długości, czasie, cenie czy liczbie produktów trzeba uwzględnić dziedzinę i odrzucić wyniki pozbawione sensu.

Przykład

Pole ogrodu

Prostokąt ma pole 48 i jeden bok jest o 2 dłuższy.

x(x+2)=48x(x+2)=48
x2+2x−48=0x^2+2x-48=0

Z rozwiązań 66 i −8−8 wybieramy 66. Boki mają długości 6 i 8.

Przykład

Przychód

Jeśli sprzedajemy xx sztuk po cenie 50−x50−x, to:

R(x)=x(50−x)R(x)=x(50-x)

Dziedzina modelu uwzględnia nieujemną liczbę sztuk i nieujemną cenę.

Quiz · 10 pytań

Sprawdź zakres podstawowy

1. Ramiona paraboli y=−2x² są skierowane:

2. Wierzchołek funkcji f(x)=3(x−2)²−5 ma współrzędne:

3. Dla równania x²−5x+6=0 wyróżnik Δ jest równy:

4. Miejsca zerowe funkcji x²−5x+6 to:

5. Oś symetrii paraboli y=2(x+3)²−1 ma równanie:

6. Najmniejsza wartość funkcji f(x)=(x−2)²−1 na przedziale [0,5] wynosi:

7. Rozwiązaniem nierówności (x−1)(x−4)≤0 jest:

8. Równanie 2x²−3x−2=0 ma rozwiązania:

9. Prostokąt ma obwód 20. Jeśli jeden bok ma długość x, jego pole opisuje funkcja:

10. Funkcja f(x)=−(x−2)²+1 jest rosnąca na przedziale: