Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Geometria płaska — czworokąty

Trapezy, równoległoboki i ich własności, podobieństwo figur oraz — na rozszerzeniu — czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu.

Przejdź do quizuZagraj w dziale Gry

Cztery boki, wiele własności

Podział czworokątów

Definicja

Czworokąt

Czworokąt jest wielokątem o czterech bokach i dwóch przekątnych. Może być wypukły albo wklęsły.

α+β+γ+δ=360∘\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ

trapez

równoległobok

prostokąt

romb

Każdy kafelek pokazuje jedną figurę i jej charakterystyczny układ boków.

Warto zapamiętać

Kwadrat jest jednocześnie prostokątem, rombem, równoległobokiem i trapezem. Nazwy opisują własności, a nie rozłączne szufladki.

Jedna para równoległych podstaw

Trapezy i odcinek środkowy

Definicja

Trapez

Trapez ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Nazywamy je podstawami; pozostałe boki są ramionami.

Zasada

Najważniejsze własności

  • kąty przy każdym ramieniu mają sumę 180∘180^\circ,
  • odcinek łączący środki ramion jest równoległy do podstaw,
  • jego długość wynosi a+b2\frac{a+b}{2}.
ABCDba(a+b)/2
Odcinek środkowy jest równoległy do podstaw i ma długość równą średniej arytmetycznej ich długości.

Przykład

Długość odcinka środkowego

Dla podstaw długości 8 i 14:

m=8+142=11m=\frac{8+14}{2}=11

Symetria trapezu

Trapez równoramienny i prostokątny

Zasada

Trapez równoramienny

Ramiona są równe, kąty przy tej samej podstawie są równe, a przekątne mają jednakową długość. Oś symetrii przechodzi przez środki podstaw.

Zasada

Trapez prostokątny

Jedno ramię jest prostopadłe do podstaw, więc dwa kąty mają miarę 90∘90^\circ. To ramię jest jednocześnie wysokością.

Przykład

Kąty w trapezie równoramiennym

Jeżeli kąt przy dłuższej podstawie ma 68∘68^\circ, drugi kąt przy tej podstawie też ma 68∘68^\circ, a oba kąty przy krótszej podstawie mają 112∘112^\circ.

Dwie pary boków równoległych

Równoległoboki

Zasada

Boki, kąty i przekątne

  • przeciwległe boki są równoległe i równe,
  • przeciwległe kąty są równe, a sąsiednie sumują się do 180∘180^\circ,
  • przekątne dzielą się wzajemnie na połowy.
OABCD
AO=OCAO=OC oraz BO=ODBO=OD. Podpisy pozostają poza przekątnymi.

Przykład

Rozpoznawanie równoległoboku

Jeśli przekątne czworokąta przecinają się w swoich środkach, czworokąt jest równoległobokiem. To wygodne twierdzenie odwrotne w zadaniach dowodowych.

Szczególne równoległoboki

Prostokąt, romb i kwadrat

Przykład

Prostokąt

Wszystkie kąty są proste, a przekątne są równe i dzielą się na połowy.

Przykład

Romb

Wszystkie boki są równe; przekątne są prostopadłe i dzielą kąty rombu na połowy.

Przykład

Kwadrat

Łączy wszystkie własności prostokąta i rombu.

Warto zapamiętać

Równe przekątne nie wystarczają do rozpoznania prostokąta bez dodatkowego założenia, np. że badany czworokąt jest równoległobokiem.

Ten sam kształt, inny rozmiar

Podobieństwo figur

Definicja

Figury podobne

Figury są podobne, gdy jedna jest obrazem drugiej w podobieństwie. Odpowiadające kąty są równe, a odpowiadające długości pozostają w tym samym stosunku k>0k>0.

k = 2obwód Lobwód 2L
Każdy bok drugiej figury jest dwa razy dłuższy. Obwód rośnie dwukrotnie, a pole czterokrotnie.

Zasada

Obwody i pola

L2L1=k,P2P1=k2\frac{L_2}{L_1}=k,\qquad \frac{P_2}{P_1}=k^2

Przykład

Skala 3

Jeśli obwód mniejszej figury wynosi 12, większa ma obwód 36. Gdy pole mniejszej wynosi 5, pole większej wynosi 5⋅32=455·3^2=45.

Porównywanie czworokątów

Podobieństwo czworokątów

Zasada

Dwa warunki jednocześnie

Dla podobieństwa czworokątów potrzebujemy równości odpowiadających kątów oraz proporcjonalności odpowiadających boków. Sam jeden z tych warunków nie wystarcza.

Przykład

Prostokątna fotografia

Fotografia 20×30 i odbitka 30×45 są podobne, bo:

3020=4530=32\frac{30}{20}=\frac{45}{30}=\frac32

Prostokąt 30×40 nie jest do nich podobny.

Quiz · 10 pytań

Sprawdź zakres podstawowy

1. Suma kątów wewnętrznych czworokąta wynosi:

2. Trapez ma co najmniej:

3. Kąty przy każdym ramieniu trapezu mają łącznie:

4. Podstawy trapezu mają długości 6 i 12. Odcinek łączący środki ramion ma długość:

5. W trapezie równoramiennym:

6. Przekątne równoległoboku:

7. Równoległobok o wszystkich bokach równych to:

8. Które zdanie jest zawsze prawdziwe dla prostokąta?

9. Figury podobne w skali k=3 mają obwody mniejszej i większej figury w stosunku:

10. Jeżeli skala podobieństwa wynosi 2, stosunek pól większej figury do mniejszej wynosi: