Geometria płaska — pole czworokąta

Pola prostokąta, równoległoboku, rombu, trapezu i dowolnego czworokąta, pola figur podobnych oraz zastosowanie skali mapy.

Przejdź do quizu Zagraj w dziale Gry

Pole z dwóch boków

Pole prostokąta i kwadratu

Wzór

Prostokąt

P=ab

Dla kwadratu o boku $a$ otrzymujemy $P=a^2$ .

Pole prostokąta jest iloczynem długości dwóch prostopadłych boków.

Wzór

Kwadrat z przekątnej

P=\frac{d^2}{2}

Wzór wynika z twierdzenia Pitagorasa: $d=a\sqrt2$ .

Przykład

Kwadrat o przekątnej 8

P=\frac{8^2}{2}=32

Podstawa i prostopadła wysokość

Pole równoległoboku

Wzór

Dwa równoważne wzory

P=ah

P=ab\sin\alpha

W drugim wzorze $\alpha$ jest kątem między bokami $a$ i $b$ .

Wysokość jest mierzona prostopadle do wybranej podstawy.

Przykład

Boki i kąt

a=10,\quad b=6,\quad \alpha=30^\circ

P=10\cdot6\cdot\frac12=30

Szczególny równoległobok

Pole rombu

Wzór

Trzy wygodne postacie

P=ah= a^2\sin\alpha=\frac{d_1d_2}{2}

Przekątne rombu są prostopadłe, dlatego pole ma postać

\frac{d_1d_2}{2}

Przykład

Romb z przekątnych

Dla $d_1=12$ i $d_2=7$ :

P=\frac{12\cdot7}{2}=42

Średnia długość podstaw

Pole trapezu

Wzór

Podstawy a i b, wysokość h

P=\frac{(a+b)h}{2}

Jeśli $m$ jest odcinkiem środkowym, to również $P=mh$ .

Pole trapezu to iloczyn wysokości i średniej długości podstaw.

Przykład

Pole z odcinka środkowego

Odcinek środkowy ma długość 11, a wysokość 6:

P=11\cdot6=66

Wzór dla dowolnego kształtu wypukłego

Pole czworokąta z przekątnych

Wzór

Przekątne d₁, d₂ i kąt α

P=\frac12d_1d_2\sin\alpha

Gdy przekątne są prostopadłe, $\sin90^\circ=1$ i pozostaje $P=\frac12d_1d_2$ .

Kąt α jest kątem między przekątnymi: P = ½d₁d₂ sin α.

Przykład

Przekątne 10 i 8 pod kątem 30°

P=\frac12\cdot10\cdot8\cdot\frac12=20

Warto zapamiętać

Wzór działa dla czworokąta wypukłego. Nie trzeba znać punktu przecięcia przekątnych ani długości ich części.

Skala pola

Pola figur podobnych

Wzór

Kwadrat skali podobieństwa

\frac{P_2}{P_1}=k^2

Jeżeli pole rośnie $q$ razy, skala długości wynosi $k=\sqrt q$ .

Każdy bok drugiej figury jest dwa razy dłuższy. Obwód rośnie dwukrotnie, a pole czterokrotnie.

Przykład

Pole w skali 1,5

Jeżeli mniejsza figura ma pole 24:

P_2=24\cdot1{,}5^2=54

Model rzeczywistego terenu

Mapa i skala mapy

Definicja

Skala 1:n

Jeden centymetr na mapie odpowiada $n$ centymetrom w terenie. Przy polach współczynnik skali podnosimy do kwadratu.

Najpierw stosujemy skalę do długości, a potem zamieniamy jednostki.

Przykład

Odległość w skali 1:50 000

4\text{ cm}\cdot50\,000=200\,000\text{ cm}=2\text{ km}

Warto zapamiętać

Najczęstszy błąd polega na pominięciu zamiany centymetrów na metry lub kilometry. Przy powierzchni trzeba dodatkowo pamiętać o jednostkach kwadratowych.

Quiz · 10 pytań

Geometria płaska — pole czworokąta

Pole prostokąta i kwadratu

Prostokąt

Kwadrat z przekątnej

Kwadrat o przekątnej 8

Pole równoległoboku

Dwa równoważne wzory

Boki i kąt

Pole rombu

Trzy wygodne postacie

Romb z przekątnych

Pole trapezu

Podstawy a i b, wysokość h

Pole z odcinka środkowego

Pole czworokąta z przekątnych

Przekątne d₁, d₂ i kąt α

Przekątne 10 i 8 pod kątem 30°

Pola figur podobnych

Kwadrat skali podobieństwa

Pole w skali 1,5

Mapa i skala mapy

Skala 1:n

Odległość w skali 1:50 000

Sprawdź zakres podstawowy

1. Pole prostokąta o bokach 7 i 4 wynosi:

2. Pole kwadratu o przekątnej 6√2 wynosi:

3. Równoległobok ma podstawę 8 i wysokość 5. Jego pole wynosi:

4. Boki równoległoboku mają długości 6 i 4, a kąt między nimi 30°. Pole wynosi:

5. Przekątne rombu mają długości 10 i 6. Pole rombu wynosi:

6. Podstawy trapezu mają długości 8 i 14, a wysokość 5. Pole wynosi:

7. Przekątne czworokąta mają długości 8 i 6, a kąt między nimi 30°. Pole wynosi:

8. Czworokąt ma prostopadłe przekątne długości 10 i 8. Jego pole wynosi:

9. Jeśli skala podobieństwa wynosi 3, pola figur pozostają w stosunku:

10. Na mapie w skali 1:50 000 odcinek ma 4 cm. W rzeczywistości jest to: