Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Wielomiany

Budowa i wartość wielomianu, działania, równość, rozkład na czynniki i równania; na rozszerzeniu także dzielenie, twierdzenie Bézouta, wykresy oraz nierówności.

Przejdź do quizuZagraj w dziale Gry

Język wielomianów

Wielomian jednej zmiennej

Definicja

Postać uporządkowana

W(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0

Współczynniki a0,…,ana_0,\ldots,a_n są liczbami rzeczywistymi, a an≠0a_n\ne0. Liczba nn jest stopniem wielomianu, ana_n współczynnikiem wiodącym, a a0a_0 wyrazem wolnym.

stopień wielomianu: 3 · współczynnik wiodący: 44x³wyraz stopnia 3− 2x²wyraz stopnia 2+ 7xwyraz stopnia 1− 5wyraz wolny
Stopień odczytujemy po uporządkowaniu wielomianu i redukcji wyrazów podobnych.

Przykład

Redukcja przed odczytaniem stopnia

3x3−2x+5−3x3+x2=x2−2x+53x^3-2x+5-3x^3+x^2=x^2-2x+5

Po redukcji stopień wynosi 2, nie 3.

Przykład

Wielomian zerowy

Wielomian, którego wszystkie współczynniki są zerami, nazywamy zerowym. Nie przypisujemy mu stopnia.

Podstawienie za zmienną

Wartość wielomianu

Reguła

Najpierw podstaw, potem licz

Wartość W(a)W(a) otrzymujemy po zastąpieniu każdej zmiennej xx liczbą aa.

Przykład

Obliczamy W(−2)

W(x)=2x3−x2+4W(x)=2x^3-x^2+4
W(−2)=2⋅(−2)3−(−2)2+4=−16W(-2)=2\cdot(-2)^3-(-2)^2+4=-16

Warto zapamiętać

Nawias przy liczbie ujemnej jest konieczny. Zapis (−2)2(-2)^2 oznacza 4, a −22-2^2 oznacza −4.

Rachunek na współczynnikach

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie

Reguła

Porządkujemy wyrazy podobne

  • przy dodawaniu i odejmowaniu łączymy współczynniki stojące przy tej samej potędze,
  • przy mnożeniu stosujemy rozdzielność i mnożymy każdy wyraz przez każdy,
  • na końcu zawsze redukujemy wyrazy podobne i porządkujemy wynik.

Przykład

Suma

(3x2−2x+1)+(x2+5x−4)(3x^2-2x+1)+(x^2+5x-4)
=4x2+3x−3=4x^2+3x-3

Przykład

Iloczyn

(x−2)(2x+3)=2x2−x−6(x-2)(2x+3)=2x^2-x-6

Warto zapamiętać

Zwykle deg⁡(PQ)=deg⁡P+deg⁡Q\deg(PQ)=\deg P+\deg Q. Stopień sumy może być niższy, gdy wyrazy najwyższego stopnia się redukują.

Te same współczynniki

Równość wielomianów

Definicja

Kiedy dwa wielomiany są równe?

Dwa uporządkowane wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają jednakowe współczynniki przy każdej potędze zmiennej — również te równe zero.

Przykład

Wyznaczamy parametr

(m+1)x2−3x+2=5x2−3x+2(m+1)x^2-3x+2=5x^2-3x+2
m+1=5⟹m=4m+1=5\quad\Longrightarrow\quad m=4

Pierwszy krok do postaci iloczynowej

Wyłączanie wspólnego czynnika

Reguła

Największy wspólny jednomian

6x3−9x2=3x2(2x−3)6x^3-9x^2=3x^2(2x-3)

Wyłączamy wspólny czynnik liczbowy i najmniejszą potęgę zmiennej występującą w każdym wyrazie.

Przykład

Połączenie ze wzorem skróconego mnożenia

5x3−20x=5x(x2−4)=5x(x−2)(x+2)5x^3-20x=5x(x^2-4)=5x(x-2)(x+2)

Iloczyn równy zero

Równania wielomianowe w postaci iloczynowej

Reguła

Zasada iloczynu zerowego

A⋅B⋅C=0  ⟺  A=0 lub B=0 lub C=0A\cdot B\cdot C=0\iff A=0\ \text{lub}\ B=0\ \text{lub}\ C=0
(x + 2)(x − 1)(x − 4) = 0−214iloczyn jest zerem, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem
Każdy czynnik liniowy daje jedno rozwiązanie równania.

Przykład

Równanie z wyłączaniem czynnika

x3−4x2=0x^3-4x^2=0
x2(x−4)=0x^2(x-4)=0
x=0lubx=4x=0\quad\text{lub}\quad x=4

Liczba 0 jest tu pierwiastkiem dwukrotnym, ale w zbiorze rozwiązań zapisujemy ją raz.

Quiz · 10 pytań

Sprawdź zakres podstawowy

1. Stopień wielomianu 5x⁴−2x²+x−7 wynosi:

2. Współczynnik wiodący wielomianu −3x³+4x−1 to:

3. Dla W(x)=2x²−3x+1 wartość W(2) wynosi:

4. Suma (3x²−x+2)+(−x²+4x−5) jest równa:

5. Iloczyn (x−3)(x+2) jest równy:

6. Jeśli (m−1)x²+2x+3=4x²+2x+3, to:

7. Najpełniejszy rozkład 8x³−12x² przez wyłączenie wspólnego czynnika to:

8. Rozwiązania równania (x−5)(x+1)=0 to:

9. Zbiór rozwiązań równania x³−9x=0 to:

10. Po redukcji wielomian 4x³−2x+1−4x³+5x² ma stopień: