Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Ułamki algebraiczne i funkcje wymierne

Dziedzina, skracanie, mnożenie i dzielenie ułamków algebraicznych oraz proporcjonalność odwrotna; na rozszerzeniu także równania, nierówności i funkcja homograficzna.

Przejdź do quizuZagraj w dziale Gry

Mianownik wyznacza ograniczenia

Ułamek algebraiczny i jego dziedzina

Definicja

Iloraz wielomianów

W(x)P(x),P(x)≠0\frac{W(x)}{P(x)},\qquad P(x)\ne0

Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych z wyłączeniem miejsc zerowych mianownika.

(x + 1) / [(x − 2)(x + 3)]−32D = ℝ ∖ {−3, 2}
Wykluczamy wszystkie miejsca zerowe mianownika.

Przykład

Rozkładamy mianownik

x+1x2+x−6=x+1(x−2)(x+3)\frac{x+1}{x^2+x-6}=\frac{x+1}{(x-2)(x+3)}
D=R∖{−3,2}D=\mathbb R\setminus\{-3,2\}

Wspólne czynniki

Skracanie ułamków algebraicznych

Reguła

Rozłóż, zapisz założenia, skróć

  1. wyznacz dziedzinę wyjściowego wyrażenia,
  2. rozłóż licznik i mianownik na czynniki,
  3. skróć wyłącznie identyczne czynniki.
(x−2)(x+4)(x−2)(x−1)x+4x−1założenia: x ≠ 2 oraz x ≠ 1
Skracamy czynniki, nie składniki sumy.

Warto zapamiętać

Po skróceniu zachowujemy wszystkie wykluczenia z wyrażenia wyjściowego.

Mnożenie przez jedynkę

Rozszerzanie ułamków algebraicznych

Reguła

Ten sam niezerowy czynnik

WP=WQPQ,Q(x)≠0\frac{W}{P}=\frac{WQ}{PQ},\qquad Q(x)\ne0

Przykład

Rozszerzenie

3x−2⋅x+1x+1=3x+3(x−2)(x+1)\frac3{x-2}\cdot\frac{x+1}{x+1}=\frac{3x+3}{(x-2)(x+1)}

W rozszerzonej postaci zakładamy x≠2,−1x\ne2,-1.

Iloczyn liczników i mianowników

Mnożenie ułamków algebraicznych

Reguła

Skracamy przed mnożeniem

AB⋅CD=ACBD\frac AB\cdot\frac CD=\frac{AC}{BD}

Najpierw ustalamy wspólną dziedzinę, potem rozkładamy na czynniki.

Przykład

Iloczyn

2xx2−1⋅x+14x=12(x−1)\frac{2x}{x^2-1}\cdot\frac{x+1}{4x}=\frac1{2(x-1)}

Założenia: x≠−1,0,1x\ne-1,0,1.

Mnożenie przez odwrotność

Dzielenie ułamków algebraicznych

Reguła

Dzielnik nie może być zerem

AB:CD=AB⋅DC\frac AB:\frac CD=\frac AB\cdot\frac DC

Poza B≠0,D≠0B\ne0,D\ne0 wymagamy także C≠0C\ne0.

Przykład

Dzielenie

x+1x−2:x−3x+4=(x+1)(x+4)(x−2)(x−3)\frac{x+1}{x-2}:\frac{x-3}{x+4}=\frac{(x+1)(x+4)}{(x-2)(x-3)}
x≠2,−4,3x\ne2,-4,3

Stały iloczyn

Proporcjonalność odwrotna

Definicja

Wielkości odwrotnie proporcjonalne

y=ax,xy=a,a≠0y=\frac ax,\qquad xy=a,\qquad a\ne0

Gdy jedna dodatnia wielkość rośnie określoną liczbę razy, druga maleje tyle samo razy.

(2, 3)y = 6/x
Każdy punkt wykresu spełnia warunek xy=6.

Przykład

Stały koszt zakupu

Za 180 zł przy cenie 6 zł za litr kupimy:

y=1806=30 ly=\frac{180}{6}=30\text{ l}

Warto zapamiętać

Dziedzina i zbiór wartości funkcji y=axy=\frac ax to R∖{0}\mathbb R\setminus\{0\}.

Quiz · 10 pytań

Sprawdź zakres podstawowy

1. Dziedziną wyrażenia 1/(x−4) jest:

2. Dziedzina ułamka (x+1)/(x²−9) wyklucza liczby:

3. Po skróceniu (x−2)(x+5)/[(x−2)(x−1)] otrzymujemy:

4. Ułamek 2/(x+1) rozszerzony przez x−3 ma postać:

5. Iloczyn x/(x−1) · (x−1)/(2x) po skróceniu wynosi:

6. Przy dzieleniu przez ułamek algebraiczny należy:

7. W wyrażeniu A/B : C/D, poza B≠0 i D≠0, musi zachodzić:

8. Jeśli y jest odwrotnie proporcjonalne do x, to stały jest:

9. Dla y=24/x wartość y przy x=6 wynosi:

10. Dziedziną i zbiorem wartości funkcji y=5/x są: