Ciągi

Ciągi określone wzorem i rekurencyjnie, monotoniczność, ciągi arytmetyczne i geometryczne, ich sumy oraz zastosowania finansowe; na rozszerzeniu także granice i szeregi geometryczne.

Przejdź do quizu Zagraj w dziale Gry

Funkcja na liczbach naturalnych

Ciąg i sposoby jego opisu

Definicja

Ciąg liczbowy

Ciąg to funkcja, której argumentami są kolejne liczby naturalne. Wartość dla argumentu $n$ oznaczamy przez $a_n$ i nazywamy $n$ -tym wyrazem ciągu.

(a_n)=(a_1,a_2,a_3,\ldots)

Ciąg skończony ma ostatni wyraz, a nieskończony — wyrazy o dowolnie dużych numerach.

Wykres ciągu składa się z oddzielnych punktów — argumentami są liczby naturalne.

Przykład

Wzór ogólny

a_n=n^2-1

a_1=0,\quad a_2=3,\quad a_3=8

Przykład

Wzór rekurencyjny

a_1=1,\qquad a_{n+1}=2a_n+1

a_2=3,\quad a_3=7,\quad a_4=15

Warto zapamiętać

Rekurencja mówi, jak z wcześniejszych wyrazów zbudować następny. Trzeba przy niej podać wyraz początkowy.

Kierunek zmian

Monotoniczność ciągu

Reguła

Porównujemy sąsiednie wyrazy

$a_{n+1}>a_n$ — ciąg rosnący,
$a_{n+1}<a_n$ — ciąg malejący,
$a_{n+1}=a_n$ — ciąg stały.

Najczęściej badamy znak różnicy $a_{n+1}-a_n$ .

Przykład

Badamy znak różnicy

a_n=n^2+2n

a_{n+1}-a_n=(n+1)^2+2(n+1)-(n^2+2n)=2n+3>0

Ciąg jest rosnący dla każdego naturalnego numeru $n$ .

Stała różnica

Ciąg arytmetyczny

Definicja

Różnica ciągu

Ciąg jest arytmetyczny, gdy różnica każdych dwóch kolejnych wyrazów jest stała:

a_{n+1}-a_n=r

a_n=a_1+(n-1)r

W ciągu arytmetycznym przejście do następnego wyrazu zawsze oznacza dodanie tej samej liczby.

Przykład

Wyznaczamy odległy wyraz

Dla $a_1=7, r=-2$ :

a_{10}=7+9\cdot(-2)=-11

Przykład

Wyraz środkowy

2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}

Trzy kolejne wyrazy tworzą ciąg arytmetyczny dokładnie wtedy, gdy środkowy jest średnią arytmetyczną sąsiadów.

Dodawanie parami

Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

Reguła

Dwa równoważne wzory

S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}

S_n=\frac{[2a_1+(n-1)r]n}{2}

Przykład

Suma liczb dwucyfrowych

Liczby od 10 do 99 tworzą ciąg arytmetyczny. Jest ich $90$ , więc:

10+11+\ldots+99=\frac{(10+99)\cdot90}{2}=4905

Stały iloraz

Ciąg geometryczny

Definicja

Iloraz ciągu

Dla niezerowych wyrazów ciąg jest geometryczny, gdy iloraz każdych dwóch kolejnych wyrazów jest stały:

\frac{a_{n+1}}{a_n}=q

a_n=a_1q^{n-1}

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez mnożenie przez stały iloraz.

Reguła

Trzy kolejne wyrazy

a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}

Dla dodatnich wyrazów środkowy jest średnią geometryczną sąsiadów.

Przykład

Wyraz ogólny

Dla $a_1=3, q=-2$ :

a_n=3(-2)^{n-1}

Przykład

Monotoniczność zależy od znaków

Przy $q<0$ znaki wyrazów zmieniają się, więc niezerowy ciąg geometryczny nie jest monotoniczny.

Suma i praktyka

Suma ciągu geometrycznego

Reguła

Suma n początkowych wyrazów

S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}\quad(q\ne1)

Dla $q=1$ wszystkie wyrazy są równe $a_1$ , więc $S_n=na_1$ .

Przykład

Suma pięciu wyrazów

Dla ciągu $2,6,18,\ldots$ mamy $q=3$ :

S_5=2\cdot\frac{1-3^5}{1-3}=242

Lokaty i kredyty

Zastosowania finansowe ciągu geometrycznego

Reguła

Kapitalizacja odsetek

Jeśli początkowy kapitał $K_0$ jest oprocentowany stopą $p$ zapisaną dziesiętnie, to po $n$ okresach:

K_n=K_0(1+p)^n

Przy $m$ kapitalizacjach w roku i rocznej stopie $r$ :

K=K_0\left(1+\frac{r}{m}\right)^{mn}

Przy kapitalizacji odsetki z poprzednich okresów również zaczynają pracować.

Przykład

Lokata

5000 zł na 3 lata przy 4% rocznie:

5000\cdot1{,}04^3\approx5624{,}32\ \text{zł}

Przykład

Procent prosty

Bez kapitalizacji odsetki są liczone zawsze od kwoty początkowej:

K_n=K_0(1+np)

Warto zapamiętać

W zadaniach o ratach każda płatność może pracować przez inny czas. Zapisz osobno wartość każdej raty w tym samym momencie, a dopiero potem je dodaj.

Quiz · 10 pytań

Ciągi

Ciąg i sposoby jego opisu

Ciąg liczbowy

Wzór ogólny

Wzór rekurencyjny

Monotoniczność ciągu

Porównujemy sąsiednie wyrazy

Badamy znak różnicy

Ciąg arytmetyczny

Różnica ciągu

Wyznaczamy odległy wyraz

Wyraz środkowy

Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

Dwa równoważne wzory

Suma liczb dwucyfrowych

Ciąg geometryczny

Iloraz ciągu

Trzy kolejne wyrazy

Wyraz ogólny

Monotoniczność zależy od znaków

Suma ciągu geometrycznego

Suma n początkowych wyrazów

Suma pięciu wyrazów

Zastosowania finansowe ciągu geometrycznego

Kapitalizacja odsetek

Lokata

Procent prosty

Sprawdź zakres podstawowy

1. Dany jest ciąg aₙ=2n−3. Jego czwarty wyraz to:

2. Ciąg określono rekurencyjnie: a₁=2, aₙ₊₁=aₙ+3. Trzy pierwsze wyrazy to:

3. Ciąg aₙ=7−2n jest:

4. Który ciąg jest arytmetyczny?

5. W ciągu arytmetycznym a₁=4 i r=3. Wartość a₆ wynosi:

6. W ciągu arytmetycznym a₃=7 i a₅=15. Wyraz a₄ jest równy:

7. Suma pierwszych 20 wyrazów ciągu 1, 2, 3, … wynosi:

8. Który ciąg jest geometryczny?

9. W ciągu geometrycznym a₁=5 i q=2. Wyraz a₅ wynosi:

10. Kapitał 1000 zł rośnie przez 2 lata o 10% rocznie z kapitalizacją roczną. Końcowa kwota to: