Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Trygonometria

Miara łukowa, funkcje i wykresy trygonometryczne, przekształcenia oraz równania; na rozszerzeniu także wzory sumy, różnicy i podwojonego kąta oraz nierówności.

Przejdź do quizuZagraj w dziale Gry

Stopnie i radiany

Miara łukowa kąta

Definicja

Radian

Jeden radian to miara kąta środkowego opartego na łuku, którego długość jest równa promieniowi okręgu.

360∘=2π rad,180∘=π rad360^\circ=2\pi\ \text{rad},\qquad 180^\circ=\pi\ \text{rad}
rrłuk długości r1 rad
Jeden radian to kąt środkowy oparty na łuku o długości równej promieniowi.

Przykład

Ze stopni na radiany

135∘⋅π180∘=3π4135^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{3\pi}{4}

Przykład

Z radianów na stopnie

5π6⋅180∘π=150∘\frac{5\pi}{6}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=150^\circ

Warto zapamiętać

W zapisie miary łukowej zwykle pomijamy słowo „rad”. Liczba 3π4\frac{3\pi}{4} oznacza więc kąt 135∘135^\circ.

Dowolny kąt rzeczywisty

Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej

Definicja

Definicja na okręgu jednostkowym

Ramieniu końcowemu kąta xx odpowiada punkt P=(a,b)P=(a,b) na okręgu jednostkowym. Wtedy:

cos⁡x=a,sin⁡x=b\cos x=a,\qquad \sin x=b
tg⁡x=sin⁡xcos⁡x,ctg⁡x=cos⁡xsin⁡x\tg x=\frac{\sin x}{\cos x},\qquad \ctg x=\frac{\cos x}{\sin x}
cos αsin ααP=(cos α, sin α)
Współrzędne punktu na okręgu jednostkowym to odpowiednio cosinus i sinus kąta.

Reguła

Dziedziny

Dsin⁡=Dcos⁡=RD_{\sin}=D_{\cos}=\mathbb R
Dtg⁡=R∖{π2+kπ:k∈Z}D_{\tg}=\mathbb R\setminus\left\{\frac\pi2+k\pi:k\in\mathbb Z\right\}
Dctg⁡=R∖{kπ:k∈Z}D_{\ctg}=\mathbb R\setminus\left\{k\pi:k\in\mathbb Z\right\}

Redukcja argumentu

Okresowość, parzystość i znaki

Reguła

Okresy podstawowe

sin⁡(x+2kπ)=sin⁡x,cos⁡(x+2kπ)=cos⁡x\sin(x+2k\pi)=\sin x,\quad \cos(x+2k\pi)=\cos x
tg⁡(x+kπ)=tg⁡x,ctg⁡(x+kπ)=ctg⁡x\tg(x+k\pi)=\tg x,\quad \ctg(x+k\pi)=\ctg x

W każdym wzorze k∈Zk\in\mathbb Z.

Przykład

Parzystość

cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos x

Cosinus jest parzysty.

Przykład

Nieparzystość

sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin x
tg⁡(−x)=−tg⁡x\tg(-x)=-\tg x

Sinus, tangens i cotangens są nieparzyste.

Znaki w ćwiartkach

Sinus jest dodatni w I i II ćwiartce, cosinus w I i IV, tangens i cotangens w I i III.

Fale okresowe

Wykresy funkcji sinus i cosinus

−π−π/20π/2π
Sinus ma wartości od −1 do 1 i okres 2π.

Reguła

Najważniejsze własności

  • zbiór wartości obu funkcji to [−1,1][-1,1],
  • okres podstawowy wynosi 2π2\pi,
  • sin⁡x\sin x zeruje się dla x=kπx=k\pi,
  • cos⁡x\cos x zeruje się dla x=π2+kπx=\frac\pi2+k\pi.

Przykład

Cosinus jako przesunięty sinus

cos⁡x=sin⁡(x+π2)\cos x=\sin\left(x+\frac\pi2\right)

Wykres cosinusa można otrzymać przez przesunięcie wykresu sinusa o π2\frac\pi2 w lewo.

Asymptoty i okres π

Wykresy funkcji tangens i cotangens

−π−π/20π/2π
Tangens ma okres π, a przy x=π/2+kπ występują asymptoty pionowe.

Przykład

Tangens

Na każdym przedziale między asymptotami funkcja jest rosnąca, a jej zbiorem wartości jest R\mathbb R.

Przykład

Cotangens

Cotangens jest malejący na każdym przedziale (kπ,(k+1)π)(k\pi,(k+1)\pi) i ma asymptoty x=kπx=k\pi.

Zmiana wykresu

Przekształcenia wykresów funkcji trygonometrycznych

Reguła

Postać y=a sin(b(x−p))+q

  • ∣a∣|a| jest amplitudą,
  • okres wynosi T=2π∣b∣T=\frac{2\pi}{|b|},
  • pp przesuwa wykres poziomo, a qq pionowo,
  • zbiór wartości to [q−∣a∣,q+∣a∣][q-|a|,q+|a|].
y=sin xy=1,5 sin(x−π/3)+0,7
Współczynniki zmieniają amplitudę i okres, a składniki p i q przesuwają wykres.

Przykład

Odczytujemy parametry

Dla f(x)=2cos⁡(3x)−1f(x)=2\cos(3x)-1 amplituda wynosi 2, okres 2π3\frac{2\pi}{3}, a zbiór wartości to [−3,1][-3,1].

Okrąg lub wykres

Proste równania trygonometryczne

π/65π/6y=1/2
W jednym pełnym obrocie równanie sin x=1/2 ma dwa rozwiązania: π/6 i 5π/6.

Reguła

Rozwiązania ogólne

sin⁡x=sin⁡α  ⟺  x=α+2kπ lub x=π−α+2kπ\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\ \text{lub}\ x=\pi-\alpha+2k\pi
cos⁡x=cos⁡α  ⟺  x=2kπ±α\cos x=\cos\alpha\iff x=2k\pi\pm\alpha
tg⁡x=tg⁡α  ⟺  x=α+kπ\tg x=\tg\alpha\iff x=\alpha+k\pi

Przykład

Równanie sinusowe

sin⁡x=12\sin x=\frac12
x=π6+2kπlubx=5π6+2kπx=\frac\pi6+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi

Przykład

Równanie cosinusowe

cos⁡x=−22\cos x=-\frac{\sqrt2}{2}
x=3π4+2kπlubx=5π4+2kπx=\frac{3\pi}{4}+2k\pi\quad\text{lub}\quad x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi

Warto zapamiętać

Jeśli zadanie podaje przedział, najpierw zapisujemy rozwiązanie ogólne, a następnie wybieramy z niego tylko liczby należące do tego przedziału.

Quiz · 10 pytań

Sprawdź zakres podstawowy

1. Kąt 150° ma miarę łukową:

2. Kąt 7π/4 rad ma miarę stopniową:

3. Wartość sin(−π/6) wynosi:

4. Dziedziną funkcji tg x jest:

5. Najmniejszy dodatni okres funkcji cos x to:

6. Zbiór wartości funkcji y=3sin x−2 to:

7. Funkcja y=cos(x−π/3) powstaje z y=cos x przez przesunięcie:

8. Rozwiązania równania sin x=0 mają postać:

9. W przedziale [0,2π] równanie cos x=−1 ma rozwiązanie:

10. Która funkcja jest parzysta?