Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Elementy statystyki opisowej

Populacja i próba, prezentacja danych, średnia, mediana, moda, wariancja i odchylenie standardowe oraz porównywanie rozkładów.

Przejdź do quizuZagraj w dziale Gry

Od obserwacji do wniosku

Populacja, próba i cecha statystyczna

Definicja

Podstawowe pojęcia

  • populacja — wszystkie obiekty objęte badaniem,
  • próba — część populacji, na podstawie której wnioskujemy,
  • jednostka statystyczna — pojedynczy badany obiekt,
  • cecha statystyczna — właściwość badana w populacji.

Reguła

Rodzaje cech

Cechy jakościowe opisują kategorie, np. kolor oczu. Cechy ilościowe mają wartości liczbowe i mogą być dyskretne, np. liczba rodzeństwa, albo ciągłe, np. wzrost.

Warto zapamiętać

Próba powinna być reprezentatywna: sposób jej doboru nie może systematycznie faworyzować jednej części populacji.

Porządkowanie informacji

Tabele, diagramy i częstości

słupki i udziały
Ten sam zestaw danych można przedstawić tabelą, diagramem słupkowym lub kołowym.

Reguła

Liczebność i częstość

Jeżeli wartość wystąpiła nin_i razy w próbie liczącej nn elementów, jej częstość względna wynosi:

fi=ninf_i=\frac{n_i}{n}

Suma liczebności to nn, a suma częstości względnych to 11.

Przykład

Diagram kołowy

Częstości 0,4; 0,35 i 0,25 odpowiadają kątom 144∘144^\circ, 126∘126^\circ i 90∘90^\circ.

Przeciętny poziom

Średnia arytmetyczna i średnia ważona

Definicja

Średnia arytmetyczna

xˉ=x1+x2+⋯+xnn\bar x=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}

Reguła

Średnia ważona

xˉw=w1x1+w2x2+⋯+wnxnw1+w2+⋯+wn\bar x_w=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\cdots+w_nx_n}{w_1+w_2+\cdots+w_n}

Wagi opisują znaczenie albo liczebność poszczególnych wartości.

Przykład

Zwykła średnia

2+5+5+84=5\frac{2+5+5+8}{4}=5

Przykład

Oceny z wagami

5⋅3+4⋅2+2⋅13+2+1=256\frac{5\cdot3+4\cdot2+2\cdot1}{3+2+1}=\frac{25}{6}

Środek i najczęstsza wartość

Mediana i moda z próby

mediana i modaśrednia
Średnia, mediana i moda opisują centrum danych, ale reagują inaczej na wartości skrajne.

Definicja

Mediana

Po uporządkowaniu danych mediana jest wartością środkową. Przy parzystej liczbie obserwacji jest średnią dwóch środkowych wartości.

Definicja

Moda (dominanta)

Moda to wartość występująca najczęściej. Zbiór może nie mieć mody albo mieć ich więcej niż jedną.

Przykład

Wartość odstająca

Dla danych 2, 3, 3, 4, 40 mediana i moda wynoszą 3, a średnia 10,4. Wysoka obserwacja skrajna silnie przesuwa średnią.

Zróżnicowanie

Wariancja

Definicja

Średnia kwadratów odchyleń

V=(x1−xˉ)2+⋯+(xn−xˉ)2nV=\frac{(x_1-\bar x)^2+\cdots+(x_n-\bar x)^2}{n}

Kwadraty sprawiają, że odchylenia dodatnie i ujemne się nie znoszą.

małe odchylenieduże odchyleniex̄
Zbiory mogą mieć tę samą średnią, lecz zupełnie inny stopień zróżnicowania.

Przykład

Dane 1, 1, 3, 3

Średnia to 2, więc:

V=1+1+1+14=1V=\frac{1+1+1+1}{4}=1

Typowa odległość od średniej

Odchylenie standardowe

Definicja

Pierwiastek z wariancji

s=Vs=\sqrt V

Odchylenie standardowe ma tę samą jednostkę co badana cecha, dlatego łatwiej je interpretować niż wariancję.

Reguła

Interpretacja

Małe ss oznacza skupienie obserwacji blisko średniej. Duże ss wskazuje większe zróżnicowanie danych.

Przykład

Porównujemy klasy

Jeżeli dwie klasy mają tę samą średnią ocen, ale odchylenia 0,8 i 1,9, wyniki pierwszej klasy są bardziej wyrównane.

Quiz · 10 pytań

Sprawdź zakres podstawowy

1. Zbiór wszystkich obiektów objętych badaniem to:

2. Która cecha jest jakościowa?

3. Średnia liczb 2, 4, 9 wynosi:

4. Mediana uporządkowanego zestawu 1, 3, 5, 8, 12 to:

5. Mediana zestawu 2, 4, 6, 10 wynosi:

6. Moda zestawu 1, 2, 2, 2, 4, 5 to:

7. Średnia ważona ocen 5 z wagą 2 i 3 z wagą 1 wynosi:

8. Wariancja zbioru, w którym wszystkie wartości są równe, wynosi:

9. Odchylenie standardowe jest:

10. Najlepszy wykres do pokazania udziałów procentowych kategorii w całości to: