Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna

Potęgi o wykładniku rzeczywistym, własności i wykresy funkcji wykładniczej i logarytmicznej, równania, nierówności oraz zastosowania praktyczne.

Przejdź do quizuZagraj w dziale Gry

Rozszerzenie pojęcia potęgi

Potęga o wykładniku rzeczywistym

Definicja

Potęga o dodatniej podstawie

Dla a>0a>0 potęgę axa^x można określić dla każdego rzeczywistego wykładnika xx. Dla wykładnika wymiernego:

amn=amna^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}

Reguła

Prawa działań

ax⋅ay=ax+y,axay=ax−ya^x\cdot a^y=a^{x+y},\qquad \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}
(ax)y=axy,(ab)x=axbx(a^x)^y=a^{xy},\qquad (ab)^x=a^xb^x

Przykład

Ujemny wykładnik

27−23=1(273)2=1927^{-\frac23}=\frac1{(\sqrt[3]{27})^2}=\frac19

Przykład

Wspólna podstawa

8x=23x,(14)x=2−2x8^{x}=2^{3x},\qquad \left(\frac14\right)^x=2^{-2x}

Sprowadzenie potęg do jednej podstawy jest kluczowe w równaniach.

Zmienna w wykładniku

Funkcja wykładnicza i jej własności

Definicja

Funkcja wykładnicza

f(x)=ax,a>0, a≠1f(x)=a^x,\qquad a>0,\ a\ne1

Dziedziną jest R\mathbb R, a zbiorem wartości (0,+∞)(0,+\infty). Wykres zawsze przechodzi przez punkt (0,1)(0,1) i ma poziomą asymptotę y=0y=0.

y=2ˣy=(1/2)ˣ(0,1)xy
Każda funkcja wykładnicza przechodzi przez punkt (0,1). Dla a>1 rośnie, a dla 0<a<1 maleje.

Reguła

Monotoniczność

  • dla a>1a>1 funkcja jest rosnąca,
  • dla 0<a<10<a<1 funkcja jest malejąca,
  • funkcja jest różnowartościowa, więc au=av  ⟺  u=va^u=a^v\iff u=v.

Przesunięcia i odbicia

Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej

Reguła

Postać f(x)=c·a^(x−p)+q

  • pp przesuwa wykres poziomo,
  • qq przesuwa go pionowo i zmienia asymptotę na y=qy=q,
  • cc skaluje wartości; dla c<0c<0 odbija wykres względem osi OX.
y=2ˣy=2ˣ⁻¹+1asymptota y=1
Zmiana x na x−1 przesuwa wykres w prawo, a dodanie 1 — w górę.

Przykład

Dziedzina i zbiór wartości

Dla f(x)=−3⋅2x+2+4f(x)=-3\cdot2^{x+2}+4 dziedziną jest R\mathbb R, asymptotą y=4y=4, a zbiorem wartości (−∞,4)(-\infty,4).

Jedna podstawa

Równania i nierówności wykładnicze

Reguła

Porównywanie wykładników

au(x)=av(x)  ⟺  u(x)=v(x)a^{u(x)}=a^{v(x)}\iff u(x)=v(x)

Dla nierówności zwrot pozostaje bez zmian, gdy a>1a>1, a odwraca się, gdy 0<a<10<a<1.

Przykład

Równanie

9x−1=272x+19^{x-1}=27^{2x+1}
32x−2=36x+33^{2x-2}=3^{6x+3}
x=−54x=-\frac54

Przykład

Nierówność

(12)2x−1≤(12)5\left(\frac12\right)^{2x-1}\le\left(\frac12\right)^5
2x−1≥5⟹x≥32x-1\ge5\quad\Longrightarrow\quad x\ge3

Warto zapamiętać

Najpierw sprawdź, czy wszystkie potęgi da się zapisać przy tej samej podstawie. Jeśli nie, przydatny będzie logarytm.

Działanie odwrotne

Logarytm — definicja i własności

Definicja

Logarytm

log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b=c\iff a^c=b

Warunki: a>0a>0, a≠1a\ne1 oraz b>0b>0.

Reguła

Prawa logarytmów

log⁡a(xy)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(xy)=\log_ax+\log_ay
log⁡axy=log⁡ax−log⁡ay,log⁡a(xr)=rlog⁡ax\log_a\frac{x}{y}=\log_ax-\log_ay,\qquad \log_a(x^r)=r\log_ax
log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}

Przykład

Obliczamy z definicji

log⁡1327=−3\log_{\frac13}27=-3

Bo (13)−3=27(\frac13)^{-3}=27.

Przykład

Łączymy logarytmy

log⁡212−log⁡23=log⁡24=2\log_2 12-\log_2 3=\log_2 4=2

Odwrotność funkcji wykładniczej

Funkcja logarytmiczna i jej własności

Definicja

Funkcja logarytmiczna

f(x)=log⁡ax,a>0, a≠1f(x)=\log_a x,\qquad a>0,\ a\ne1

Dziedziną jest (0,+∞)(0,+\infty), zbiorem wartości R\mathbb R, a pionową asymptotą prosta x=0x=0. Wykres przechodzi przez (1,0)(1,0).

y=2ˣy=log₂xy=x
Wykresy y=aˣ i y=logₐx są symetryczne względem prostej y=x.

Reguła

Monotoniczność

Dla a>1a>1 funkcja logarytmiczna rośnie, a dla 0<a<10<a<1 maleje. Ma więc ten sam kierunek monotoniczności co odpowiadająca jej funkcja wykładnicza.

Warunek dodatniego argumentu

Równania i nierówności logarytmiczne

Reguła

Bezpieczny schemat

  1. ustal dziedzinę — każdy argument logarytmu musi być dodatni,
  2. połącz logarytmy albo sprowadź je do wspólnej podstawy,
  3. skorzystaj z różnowartościowości,
  4. sprawdź otrzymane liczby w dziedzinie.

Przykład

Równanie

log⁡3(x−1)=2\log_3(x-1)=2
x−1=9⟹x=10x-1=9\quad\Longrightarrow\quad x=10

Przykład

Nierówność

log⁡12(x+1)>−2\log_{\frac12}(x+1)>-2
0<x+1<4⟹−1<x<30<x+1<4\quad\Longrightarrow\quad -1<x<3

Najczęstszy błąd

Warunek x>0x>0 dotyczy argumentu logarytmu, nie jego wartości. Na przykład log⁡214=−2\log_2\frac14=-2 istnieje mimo ujemnego wyniku.

Modele procentowe

Zastosowania funkcji wykładniczej i logarytmicznej

Reguła

Wzrost i zanik

N(t)=N0(1+r)tN(t)=N_0(1+r)^t

Dla spadku o stały procent używamy czynnika 1−r1-r. Czas można wyznaczyć, logarytmując obie strony równania.

wzrostzanikt
Stały procent zmiany w równych odstępach czasu prowadzi do modelu wykładniczego.

Przykład

Wzrost populacji

100 bakterii podwaja się co 4 godziny:

N(t)=100⋅2t/4N(t)=100\cdot2^{t/4}

Przykład

Okres połowicznego zaniku

M(t)=M0(12)t/TM(t)=M_0\left(\frac12\right)^{t/T}

Po czasie TT pozostaje połowa początkowej ilości substancji.

Quiz · 10 pytań

Sprawdź zakres podstawowy

1. Wartość 16^(3/4) jest równa:

2. Funkcja f(x)=3ˣ jest:

3. Zbiorem wartości funkcji y=(1/2)ˣ jest:

4. Rozwiązaniem równania 2ˣ=32 jest:

5. Rozwiązaniem nierówności 3ˣ>9 jest:

6. Wartość log₂32 wynosi:

7. Dziedziną funkcji f(x)=log₃(x−2) jest:

8. Wyrażenie log₅25+log₅5 ma wartość:

9. Rozwiązaniem równania log₂x=4 jest:

10. Kapitał 2000 zł rośnie o 5% rocznie. Po dwóch latach wynosi: