Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Elementy analizy matematycznej

Granice ciągów i funkcji, ciągłość, asymptoty, pochodna, monotoniczność, ekstrema, badanie przebiegu zmienności i optymalizacja.

Przejdź do quizuZagraj w dziale Gry

Zachowanie wyrazów

Granica ciągu — powtórzenie i uzupełnienie

Definicja

Ciąg zbieżny

Liczba gg jest granicą ciągu (an)(a_n), gdy wyrazy o dostatecznie dużych numerach są dowolnie blisko gg.

lim⁡n→∞an=g\lim_{n\to\infty}a_n=g
gn
Wyrazy ciągu mogą oscylować, ale z czasem pozostają dowolnie blisko granicy g.

Reguła

Rachunek granic

Jeżeli an→aa_n\to a i bn→bb_n\to b, to granica sumy, różnicy i iloczynu jest odpowiednio sumą, różnicą i iloczynem granic. Dla b≠0b\ne0:

lim⁡anbn=ab\lim\frac{a_n}{b_n}=\frac ab

Przykład

Iloraz wielomianów

lim⁡n→∞3n2−n+1n2+4=3\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2-n+1}{n^2+4}=3

Dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę nn.

W pobliżu argumentu

Granica funkcji w punkcie

Definicja

Granica właściwa

Zapis lim⁡x→x0f(x)=L\lim_{x\to x_0}f(x)=L oznacza, że wartości funkcji zbliżają się do LL, gdy argument zbliża się do x0x_0 z obu stron.

Lf(x₀)x₀
Granica opisuje zachowanie w pobliżu punktu; wartość f(x₀) może być inna.

Reguła

Podstawienie lub skracanie

Dla funkcji ciągłej wystarczy podstawić x0x_0. Gdy pojawia się symbol 0/00/0, przekształcamy wyrażenie, np. rozkładamy na czynniki.

Przykład

Usuwamy nieoznaczoność

lim⁡x→2x2−4x−2=lim⁡x→2(x+2)=4\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4

Bez skoków i dziur

Ciągłość funkcji w punkcie i przedziale

Definicja

Ciągłość w punkcie

lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)

Muszą jednocześnie istnieć: wartość funkcji, granica oraz ich równość.

ciągłaskok
Wykres funkcji ciągłej można prowadzić bez odrywania ołówka; skok oznacza nieciągłość.

Reguła

Funkcje ciągłe

Wielomiany są ciągłe na R\mathbb R. Funkcje wymierne są ciągłe w swojej dziedzinie. Sumy, iloczyny i złożenia funkcji ciągłych również są ciągłe tam, gdzie są określone.

Warto zapamiętać

Funkcja ciągła na przedziale domkniętym przyjmuje wartość najmniejszą i największą oraz wszystkie wartości pośrednie między nimi.

Zachowanie przy brzegu dziedziny

Asymptoty wykresu funkcji

Pionowa i pozioma

f(x)=1+1x−1f(x)=1+\frac{1}{x-1}
x = 1y = 1xy0

Pionowa i ukośna

g(x)=x+1xg(x)=x+\frac{1}{x}
x = 0y = xxy0
Linie przerywane to asymptoty. Przy asymptocie pionowej wartości funkcji dążą do nieskończoności lub minus nieskończoności. Przy poziomej i ukośnej różnica między funkcją a prostą dąży do zera, gdy x dąży do ±∞.

Reguła

Trzy rodzaje asymptot

  • x=ax=a jest pionowa, gdy co najmniej jedna granica jednostronna przy aa wynosi +∞+\infty lub −∞-\infty,
  • y=by=b jest pozioma, gdy lim⁡x→±∞f(x)=b\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b,
  • y=ax+by=ax+b jest ukośna, gdy f(x)−(ax+b)→0f(x)-(ax+b)\to0 w nieskończoności.

Przykład

Funkcja wymierna

Dla f(x)=2x+1x−3f(x)=\frac{2x+1}{x-3} asymptota pionowa to x=3x=3, a pozioma y=2y=2.

Chwilowe tempo zmian

Pochodna funkcji w punkcie

Definicja

Iloraz różnicowy

f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hf'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

Pochodna jest chwilowym tempem zmian funkcji i współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu w punkcie.

PQsieczna PQstyczna w Py = x²xy
P i Q leżą na wykresie. Gdy Q zbliża się do P, sieczna PQ dąży do stycznej w P.

Przykład

Pochodna x² z definicji

f′(x0)=lim⁡h→0(x0+h)2−x02hf'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h}
=lim⁡h→0(2x0+h)=2x0=\lim_{h\to0}(2x_0+h)=2x_0

Szybkie różniczkowanie

Funkcja pochodna i podstawowe wzory

Reguła

Najważniejsze pochodne

(c)′=0,(xn)′=nxn−1(c)'=0,\quad (x^n)'=nx^{n-1}
(f+g)′=f′+g′,(cf)′=cf′(f+g)'=f'+g',\quad (cf)'=cf'
(fg)′=f′g+fg′,(fg)′=f′g−fg′g2(fg)'=f'g+fg',\quad \left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}

Przykład

Wielomian

f(x)=3x4−2x2+7f(x)=3x^4-2x^2+7
f′(x)=12x3−4xf'(x)=12x^3-4x

Przykład

Iloraz

f(x)=x+1x−2f(x)=\frac{x+1}{x-2}
f′(x)=(x−2)−(x+1)(x−2)2=−3(x−2)2f'(x)=\frac{(x-2)-(x+1)}{(x-2)^2}=\frac{-3}{(x-2)^2}

Znak pochodnej

Monotoniczność i ekstrema lokalne

Reguła

Kryterium monotoniczności

  • f′(x)>0f'(x)>0 — funkcja rośnie,
  • f′(x)<0f'(x)<0 — funkcja maleje,
  • zmiana znaku z plusa na minus daje maksimum lokalne,
  • zmiana znaku z minusa na plus daje minimum lokalne.
+−+x₁x₂f rośnie ↗f maleje ↘f rośnie ↗maksimumminimum
Zmiana znaku pochodnej wskazuje lokalne maksimum lub minimum.

Przykład

Badamy parabolę

f(x)=x2−4x+1,f′(x)=2x−4f(x)=x^2-4x+1,\qquad f'(x)=2x-4

Pochodna jest ujemna dla x<2x<2 i dodatnia dla x>2x>2. Funkcja ma minimum w x=2x=2.

Najlepszy możliwy wynik

Wartość największa, najmniejsza i zadania optymalizacyjne

Reguła

Schemat optymalizacji

  1. wybierz zmienną i zapisz dziedzinę wynikającą z zadania,
  2. zbuduj funkcję celu,
  3. oblicz pochodną i znajdź punkty krytyczne,
  4. porównaj wartości w punktach krytycznych oraz na końcach dziedziny,
  5. odpowiedz w kontekście zadania wraz z jednostką.

Przykład

Największe pole prostokąta

Prostokąt ma obwód 20, więc boki to xx i 10−x10-x:

P(x)=x(10−x),P′(x)=10−2xP(x)=x(10-x),\qquad P'(x)=10-2x

P′(x)=0P'(x)=0 dla x=5x=5. Największe pole wynosi 2525 i osiąga je kwadrat.

Quiz · 10 pytań

Sprawdź zakres podstawowy

1. Granica ciągu aₙ=3+1/n wynosi:

2. Granica funkcji f(x)=2x−1 dla x→3 wynosi:

3. Jeżeli granice jednostronne w punkcie są różne, to granica obustronna:

4. Funkcja jest ciągła w punkcie x₀, gdy:

5. Pochodna funkcji f(x)=x² wynosi:

6. Jeżeli f′(x)>0 w całym przedziale, to funkcja jest tam:

7. Współczynnik kierunkowy stycznej do y=f(x) w punkcie x₀ to:

8. Punkt, w którym f′ zmienia znak z plusa na minus, jest zwykle:

9. Asymptota pozioma y=L występuje, gdy:

10. Największej wartości funkcji ciągłej na [a,b] szukamy: