Geometria analityczna

Wektory, proste, odległości, pola, równania okręgu i wzajemne położenie figur; na rozszerzeniu także jednokładność, styczne i optymalizacja.

Przejdź do quizu Zagraj w dziale Gry

Przesunięcie w układzie

Wektor w układzie współrzędnych

Definicja

Współrzędne i długość wektora

Dla $A=(x_1,y_1)$ i $B=(x_2,y_2)$ :

\overrightarrow{AB}=[x_2-x_1,\ y_2-y_1]

|\vec v|=\sqrt{v_x^2+v_y^2}

Składowe wektora to różnice współrzędnych: pozioma x₂ − x₁ i pionowa y₂ − y₁.

Reguła

Działania na wektorach

[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d],\qquad k[a,b]=[ka,kb]

Wektory są równoległe, gdy jeden jest wielokrotnością drugiego.

Przykład

Od punktu A do B

Dla $A=(-2,1)$ i $B=(4,3)$ mamy $\overrightarrow{AB}=[6,2]$ oraz $|AB|=2\sqrt{10}$ .

Kierunek i kąt

Iloczyn skalarny i kąt między wektorami

Definicja

Iloczyn skalarny

\vec u\cdot\vec v=u_xv_x+u_yv_y=|\vec u|\,|\vec v|\cos\alpha

Reguła

Równoległość i prostopadłość

$\vec u\cdot\vec v=0$ dla niezerowych wektorów prostopadłych,
wyznacznik $u_xv_y-u_yv_x=0$ dla wektorów równoległych.

Przykład

Kąt prosty

$[2,1]\cdot[1,-2]=2-2=0$ , więc wektory są prostopadłe.

Opis prostej

Równanie kierunkowe i ogólne prostej

Reguła

Dwie postacie

y=ax+b

Ax+By+C=0\qquad (A,B)\ne(0,0)

Prosta przez $P=(x_0,y_0)$ o nachyleniu $a$ spełnia $y-y_0=a(x-x_0)$ .

Przykład

Z dwóch punktów

Dla $A=(1,2)$ , $B=(3,6)$ :

a=\frac{6-2}{3-1}=2,\qquad y=2x

Przykład

Wektor normalny

W równaniu $3x-4y+7=0$ wektorem normalnym jest $[3,-4]$ .

Wzajemne położenie

Proste równoległe, prostopadłe i kąt między prostymi

Równoległe proste mają ten sam kierunek. Prostopadłe przecinają się pod kątem 90°.

Reguła

Warunki dla prostych kierunkowych

l_1\parallel l_2\iff a_1=a_2

l_1\perp l_2\iff a_1a_2=-1

Dla kąta ostrego między prostymi:

\tan\alpha=\left|\frac{a_2-a_1}{1+a_1a_2}\right|

Miara położenia

Odległość punktów, punktu od prostej i dwóch prostych

Odległość d(P, l) jest długością odcinka PH prostopadłego do prostej l.

Reguła

Najważniejsze wzory

|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

d(P,l)=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

Dla prostych równoległych $Ax+By+C_1=0$ i $Ax+By+C_2=0$ :

d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}

Warto zapamiętać

Przed zastosowaniem ostatniego wzoru współczynniki $A$ i $B$ w obu równaniach muszą być identyczne.

Środek i pole

Środek odcinka, pole trójkąta i wielokąta

Reguła

Wzory współrzędnościowe

S=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)

P_{ABC}=\frac12\left|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)\right|

Przykład

Pole z wyznacznika

Dla $A=(0,0)$ , $B=(4,1)$ , $C=(2,5)$ :

P=\frac12|4\cdot5-1\cdot2|=9

Krzywa w układzie

Równanie okręgu i nierówność opisująca koło

Definicja

Postać kanoniczna

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Środkiem jest $S=(a,b)$ , a promieniem $r>0$ . Koło opisuje nierówność $(x-a)^2+(y-b)^2\le r^2$ .

Każdy punkt okręgu leży w odległości r od środka S(a, b).

Przykład

Z postaci ogólnej

x^2+y^2-4x+6y-12=0

(x-2)^2+(y+3)^2=25

Zatem $S=(2,-3)$ i $r=5$ .

Punkty wspólne

Wzajemne położenie prostej i okręgu

Porównujemy prostopadłą odległość d środka od prostej z promieniem r. W punkcie styczności promień jest prostopadły do stycznej.

Reguła

Porównaj odległość z promieniem

$d(S,l)>r$ — brak punktów wspólnych,
$d(S,l)=r$ — prosta styczna,
$d(S,l)<r$ — dwa punkty wspólne.

Przykład

Czy prosta jest styczna?

Dla okręgu $x^2+y^2=25$ i prostej $3x+4y-25=0$ odległość środka od prostej wynosi $25/5=5$ . Jest równa promieniowi, więc prosta jest styczna.

Quiz · 10 pytań

Geometria analityczna

Wektor w układzie współrzędnych

Współrzędne i długość wektora

Działania na wektorach

Od punktu A do B

Iloczyn skalarny i kąt między wektorami

Iloczyn skalarny

Równoległość i prostopadłość

Kąt prosty

Równanie kierunkowe i ogólne prostej

Dwie postacie

Z dwóch punktów

Wektor normalny

Proste równoległe, prostopadłe i kąt między prostymi

Warunki dla prostych kierunkowych

Odległość punktów, punktu od prostej i dwóch prostych

Najważniejsze wzory

Środek odcinka, pole trójkąta i wielokąta

Wzory współrzędnościowe

Pole z wyznacznika

Równanie okręgu i nierówność opisująca koło

Postać kanoniczna

Z postaci ogólnej

Wzajemne położenie prostej i okręgu

Porównaj odległość z promieniem

Czy prosta jest styczna?

Sprawdź zakres podstawowy

1. Wektor AB dla A=(1,−2), B=(4,3) ma współrzędne:

2. Długość wektora [3,4] wynosi:

3. Wektory [2,−1] i [−4,2] są:

4. Prosta y=−3x+5 ma współczynnik kierunkowy:

5. Prosta prostopadła do y=2x−1 ma współczynnik kierunkowy:

6. Odległość punktów (1,2) i (4,6) wynosi:

7. Środek odcinka o końcach (−2,4) i (6,0) to:

8. Pole trójkąta o podstawie 6 i wysokości 4 wynosi:

9. Okrąg (x−2)²+(y+1)²=9 ma środek i promień:

10. Jeżeli odległość środka okręgu od prostej jest większa od promienia, prosta: