Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Egzamin ósmoklasisty · Dział 1

Liczby i działania

Kompletna powtórka: od rodzajów liczb i podzielności, przez ułamki, aż po jednostki, czas i skalę.

Przejdź do quizuZagraj w dziale Gry

1.1 · Własności liczb

Rodzaje liczb i sposoby zapisu

Zbiory liczb są w sobie zawarte. Liczby naturalne służą do liczenia, całkowite obejmują także liczby ujemne, a wymierne można zapisać w postaci ułamka ab\frac{a}{b}, gdzieb≠0b\ne 0. Liczby takie jak 2\sqrt{2}lub π\pi są niewymierne.

ZbiórPrzykładyCo warto wiedzieć
Naturalne ℕ0, 1, 2, 3, …Nie są ujemne.
Całkowite ℤ…, −2, −1, 0, 1, …Nie mają części ułamkowej.
Wymierne ℚ¾, −2, 0,1(6)Rozwinięcie dziesiętne jest skończone albo okresowe.
Niewymierne√2, πRozwinięcie jest nieskończone i nieokresowe.

Zapamiętaj

System dziesiątkowy i rzymski

W liczbie 57 304 cyfra 7 oznacza 7000, a cyfra 3 oznacza 300.

Podstawowe znaki rzymskie to I, V, X, L, C, D i M. Mniejszy znak przed większym oznacza odejmowanie, np. IX = 9 i XC = 90.

Zamiana zapisu rzymskiego

MCMXLIV = 1000 + 900 + 40 + 4 = 1944.

Oś liczbowa, porównywanie i wartość bezwzględna

Na osi liczbowej liczby rosną w prawo. Liczba leżąca bardziej na prawo jest większa. Wartość bezwzględna oznacza odległość liczby od zera, dlatego nigdy nie jest ujemna.

−4−3−2−101234

Liczby −3 i 3 są przeciwne, a obie leżą 3 jednostki od zera.

∣−7∣=7|-7|=7

Odległość −7 od zera wynosi 7.

−8<−3<0<2-8<-3<0<2

Tak liczby układają się od lewej do prawej.

Wskazówka egzaminacyjna

Przy porównywaniu liczb ujemnych większa jest ta, która leży bliżej zera. Dlatego −4 > −9.

Podzielność, liczby pierwsze, NWD i NWW

Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Liczba złożona ma ich więcej. Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone.

Podzielność przez 2

ostatnia cyfra jest parzysta

Podzielność przez 3

suma cyfr jest podzielna przez 3

Podzielność przez 4

liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 4

Podzielność przez 5

ostatnia cyfra to 0 lub 5

Podzielność przez 9

suma cyfr jest podzielna przez 9

Podzielność przez 10

ostatnia cyfra to 0

Rozkład na czynniki pierwsze oraz NWD i NWW

36=22⋅3248=24⋅336=2^2\cdot3^2 \qquad 48=2^4\cdot3
NWD⁡(36,48)=22⋅3=12\operatorname{NWD}(36,48)=2^2\cdot3=12
NWW⁡(36,48)=24⋅32=144\operatorname{NWW}(36,48)=2^4\cdot3^2=144

W NWD bierzemy wspólne czynniki z mniejszymi wykładnikami, a w NWW wszystkie potrzebne czynniki z większymi wykładnikami.

1.2 · Działania na liczbach

Kolejność działań, zaokrąglanie i reszta z dzielenia

Zapamiętaj

Kolejność wykonywania działań

  1. działania w nawiasach,
  2. potęgi i pierwiastki,
  3. mnożenie i dzielenie od lewej do prawej,
  4. dodawanie i odejmowanie od lewej do prawej.

Obliczenie krok po kroku

18−2⋅(5+1)2:1218-2\cdot(5+1)^2:12
18−2⋅36:12=18−6=1218-2\cdot36:12=18-6=12

Przy zaokrąglaniu patrzymy na pierwszą odrzucaną cyfrę: 0–4 nie zmienia poprzedniej cyfry, a 5–9 zwiększa ją o 1. Na przykład 47,368 zaokrąglone do części setnych to 47,37.

Dzielenie z resztą

137=8⋅17+1137=8\cdot17+1

Iloraz wynosi 17, reszta 1, a reszta zawsze jest mniejsza od dzielnika.

1.3 · Ułamki

Ułamki zwykłe i dziesiętne

Ułamek właściwy jest mniejszy od 1, a niewłaściwy jest równy 1 lub większy. Liczbę mieszaną można zamienić na ułamek niewłaściwy, mnożąc część całkowitą przez mianownik i dodając licznik.

35\frac{3}{5}

właściwy

94\frac{9}{4}

niewłaściwy

2142\frac{1}{4}

liczba mieszana

Skracanie, rozszerzanie i zamiana zapisu

1824=34=0,75\frac{18}{24}=\frac{3}{4}=0{,}75
214=2⋅4+14=942\frac{1}{4}=\frac{2\cdot4+1}{4}=\frac{9}{4}

Zapamiętaj

Odwrotność i działania na ułamkach

Odwrotnością niezerowej liczby ab\frac{a}{b} jest ba\frac{b}{a}.

Dzielenie przez ułamek zastępujemy mnożeniem przez jego odwrotność.

35:910=35⋅109=23\frac{3}{5}:\frac{9}{10}=\frac{3}{5}\cdot\frac{10}{9}=\frac{2}{3}

Wskazówka egzaminacyjna

Porównując ułamki o różnych mianownikach, sprowadź je do wspólnego mianownika albo zamień na rozwinięcia dziesiętne. Uważaj na ujemne liczby: −0,7 < −0,6.

Przecinek i potęgi liczby 10

Mnożenie przez 10, 100 lub 1000 przesuwa przecinek w prawo o liczbę zer. Dzielenie przez te liczby przesuwa go w lewo.

3,47⋅100=3473{,}47\cdot100=347
52,8:1000=0,052852{,}8:1000=0{,}0528

1.4 · Obliczenia praktyczne

Jednostki długości, masy, czasu i prędkości

Długość1 km = 1000 m; 1 m = 100 cm = 1000 mm
Masa1 t = 1000 kg; 1 kg = 1000 g
Czas1 h = 60 min; 1 min = 60 s
Prędkość1 m/s = 3,6 km/h

Zmiana jednostki prędkości

72 kmh=72:3,6=20 ms72\ \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}=72:3{,}6=20\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

Wskazówka egzaminacyjna

Przed dodawaniem, porównywaniem albo podstawianiem do wzoru zawsze sprowadź wielkości do tych samych jednostek.

Kalendarz, czas i skala

W zadaniach z czasem pilnuj przejścia przez pełną godzinę i pamiętaj, że rok przestępny ma 366 dni. Skala 1 : n oznacza, że 1 jednostka na rysunku odpowiada n takim samym jednostkom w rzeczywistości.

Mapa w skali 1 : 50 000

Odcinek 6 cm na mapie odpowiada:

6⋅50 000 cm=300 000 cm=3 km6\cdot50\,000\ \mathrm{cm}=300\,000\ \mathrm{cm}=3\ \mathrm{km}

Zapamiętaj

Trzy pytania przy zadaniu ze skalą

  1. Czy szukam długości na planie, czy w rzeczywistości?
  2. Czy wszystkie długości są w tych samych jednostkach?
  3. Czy wynik powinien być większy, czy mniejszy od pomiaru na rysunku?

Quiz · 10 pytań

Sprawdź dział „Liczby i działania”

Po wybraniu odpowiedzi od razu zobaczysz wyjaśnienie. Na końcu pojawi się wynik.

1. Która z podanych liczb jest niewymierna?

2. Która nierówność jest prawdziwa?

3. Która liczba jest podzielna przez 9?

4. Ile wynosi NWD(24, 36)?

5. Oblicz: 20 − 2 · (3 + 1)² : 4

6. Zaokrąglij 18,746 do części setnych.

7. Ile wynosi 3/4 : 9/8?

8. Ile wynosi 4,08 · 1000?

9. Prędkość 54 km/h to:

10. Na mapie w skali 1 : 100 000 odległość wynosi 7 cm. Jaka jest odległość rzeczywista?