Egzamin ósmoklasisty · Dział 8

Zadania na dowodzenie

Jak rozpoznać założenie i tezę oraz budować poprawne dowody arytmetyczne, algebraiczne i geometryczne.

8.1 · Zadania na dowodzenie

Twierdzenie, założenie i teza

Twierdzenie matematyczne jest zdaniem, którego prawdziwość można uzasadnić logicznym rozumowaniem. Najczęściej ma postać warunkową.

Założenie · dane

Liczba naturalna kończy się cyfrą 5.

To fakty, z których wolno korzystać.

Teza · szukane

Ta liczba jest podzielna przez 5.

Do tego wniosku ma doprowadzić dowód.

Zapamiętaj

Schemat twierdzenia

\text{Jeśli założenie, to teza.}

Dowód zaczyna się od założenia i przez kolejne uzasadnione kroki prowadzi do tezy. Nie wolno przyjąć tezy jako argumentu.

Jak zaplanować dowód

Wskazówka egzaminacyjna

Przed rachunkami zapisz jednym zdaniem, co wiadomo i co trzeba wykazać. Dzięki temu łatwiej zauważyć, czy każdy krok rzeczywiście przybliża Cię do tezy.

Język algebraiczny w dowodach o liczbach

Zdanie dotyczące wszystkich liczb zapisujemy za pomocą zmiennej. Wtedy jedno rozumowanie obejmuje nieskończenie wiele przypadków.

Liczba parzysta

2n

gdzie $n$ jest liczbą całkowitą

Liczba nieparzysta

2n+1

gdzie $n$ jest liczbą całkowitą

Wielokrotność liczby k

kn

gdzie $n$ jest liczbą całkowitą

Dwie kolejne liczby

n, n+1

gdzie $n$ jest liczbą całkowitą

Suma dwóch liczb nieparzystych jest parzysta

Założenie: liczby są nieparzyste, więc mają postać $2a+1$ i $2b+1$ .

(2a+1)+(2b+1)=2a+2b+2=2(a+b+1)

Otrzymaliśmy dwukrotność liczby całkowitej, zatem suma jest parzysta — teza została wykazana.

Dowodzenie podzielności

Aby wykazać podzielność przez liczbę $k$ , staramy się zapisać całe wyrażenie w postaci $k\cdot m$ , gdzie $m$ jest liczbą całkowitą.

Wykaż, że 5n+15 jest podzielne przez 5

5n+15=5(n+3)

Wyrażenie jest iloczynem 5 i liczby całkowitej $n+3$ , więc jest podzielne przez 5.

Iloczyn dwóch kolejnych liczb jest parzysty

n(n+1)

Dwie kolejne liczby mają różną parzystość, więc jedna z nich zawiera czynnik 2. Ich iloczyn jest zatem podzielny przez 2.

Zapamiętaj

Przydatne narzędzia

cechy podzielności i zapis wielokrotności,
wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias,
wzory dotyczące potęg i pierwiastków,
kolejność działań i skracanie ułamków.

Przekształcenia algebraiczne jako dowód

Często teza mówi, że dwa wyrażenia są równe albo że jedno z nich ma określoną własność. Wtedy przekształcamy jedną stronę, korzystając z działań i redukcji wyrazów podobnych.

Wykaż, że suma trzech kolejnych liczb jest podzielna przez 3

Zapisujemy liczby jako $n$ , $n+1$ i $n+2$ .

n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)

Otrzymana suma jest wielokrotnością 3.

Różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb jest nieparzysta

(n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1

Wynik ma postać liczby nieparzystej, co kończy dowód.

Wskazówka egzaminacyjna

Nie zapisuj tylko ciągu równości. Krótkie komentarze, na przykład „wyłączamy 3 przed nawias”, pokazują, dlaczego otrzymany zapis dowodzi tezy.

Przykład, dowód i kontrprzykład

Przykład

Pomaga zrozumieć zdanie, ale nie dowodzi go dla wszystkich przypadków.

Dowód

Obejmuje wszystkie obiekty spełniające założenie i logicznie prowadzi do tezy.

Kontrprzykład

Jeden przypadek niespełniający tezy wystarcza, aby obalić zdanie ogólne.

Fałszywe zdanie: każda liczba pierwsza jest nieparzysta

Liczba 2 jest pierwsza i parzysta. Ten jeden kontrprzykład obala twierdzenie.

Plan dowodu geometrycznego

W geometrii rysunek pomaga uporządkować dane, ale sam nie jest dowodem. Każdą własność widoczną na szkicu trzeba wyprowadzić z założeń lub znanego twierdzenia.

1. Rysunek

Oznacz dane kąty, boki, równoległość i prostopadłość.

2. Obliczenia

Zapisz wzory, zależności i wykonaj przekształcenia.

3. Element pomocniczy

W razie potrzeby dorysuj wysokość, przekątną lub promień.

Zapamiętaj

Najczęściej używane fakty

suma kątów w trójkącie i własności kątów przy prostych równoległych,
cechy przystawania trójkątów,
twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie odwrotne,
wzory na pola, obwody i objętości,
własności trójkątów, czworokątów, graniastosłupów i ostrosłupów.

Dowód przez przystawanie trójkątów

Przystawanie pozwala przenosić równości boków i kątów z jednego trójkąta na drugi. Trzeba wskazać konkretną cechę: bbb, bkb albo kbk.

Przekątna równoległoboku dzieli go na dwa przystające trójkąty

W równoległoboku przeciwległe boki są równe: $AB=CD$ i $BC=AD$ . Ponadto $AC$ jest bokiem wspólnym.

AB=CD,\quad BC=AD,\quad AC=AC

Trójkąty ABC i CDA są przystające z cechy bok–bok–bok.

Dowody z polem i twierdzeniem Pitagorasa

Przekątne prostokąta są równe

W prostokącie o bokach $a$ i $b$ każda przekątna jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $a$ i $b$ .

d_1^2=a^2+b^2\qquad d_2^2=a^2+b^2

Długości są dodatnie, więc $d_1=d_2$ .

Trójkąty o tej samej podstawie i wysokości mają równe pola

P_1=\frac{a\cdot h}{2}\qquad P_2=\frac{a\cdot h}{2}

Oba pola są opisane tym samym wyrażeniem, dlatego są równe.

Wskazówka egzaminacyjna

Jeżeli dorysowujesz wysokość lub przekątną, napisz, po co jej używasz — na przykład „otrzymujemy trójkąt prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa”.

Jak zapisać kompletny dowód

✓

1. Dane

Zapisz założenie i wprowadź oznaczenia.

✓

2. Uzasadnienie

Każdy krok oprzyj na obliczeniu, definicji lub znanym twierdzeniu.

✓

3. Powiązanie

Wyjaśnij, co otrzymany wynik mówi o tezie.

✓

4. Wniosek

Zakończ zdaniem: „Zatem…”, „Wobec tego…” albo „Teza została wykazana.”

Zapamiętaj

Najczęstsze błędy

opieranie dowodu wyłącznie na kilku przykładach,
korzystanie z tezy, zanim została udowodniona,
uznawanie własności za prawdziwą tylko dlatego, że tak wygląda na rysunku,
pomijanie uzasadnienia najważniejszego kroku,
brak końcowego powiązania wyniku z tezą.

Quiz · 10 pytań

Sprawdź sztukę dowodzenia

Wybierz najlepszy krok lub uzasadnienie. Po wyborze zobaczysz wyjaśnienie.

Zadania na dowodzenie

Twierdzenie, założenie i teza

Schemat twierdzenia

Jak zaplanować dowód

Język algebraiczny w dowodach o liczbach

Dowodzenie podzielności

Przydatne narzędzia

Przekształcenia algebraiczne jako dowód

Przykład, dowód i kontrprzykład

Plan dowodu geometrycznego

Najczęściej używane fakty

Dowód przez przystawanie trójkątów

Dowody z polem i twierdzeniem Pitagorasa

Jak zapisać kompletny dowód

Najczęstsze błędy

Sprawdź sztukę dowodzenia

1. W twierdzeniu „Jeśli liczba kończy się cyfrą 0, to jest podzielna przez 10” założeniem jest:

2. Aby udowodnić zdanie ogólne dotyczące każdej liczby parzystej, zapisujemy ją jako:

3. Który zapis przedstawia liczbę nieparzystą?

4. Dlaczego iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych jest parzysty?

5. Aby wykazać, że 3n+6 jest podzielne przez 3, najlepiej zapisać:

6. Czy sprawdzenie twierdzenia dla liczb 1, 2 i 3 jest dowodem dla wszystkich liczb naturalnych?

7. Jeden poprawnie dobrany kontrprzykład wystarcza, aby:

8. W dowodzie geometrycznym przekątna równoległoboku dzieli go na dwa przystające trójkąty z cechy:

9. Jeżeli w trójkącie a²+b²=c² i c jest najdłuższym bokiem, możemy wnioskować, że trójkąt jest:

10. Poprawne zakończenie dowodu powinno: