Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Egzamin ósmoklasisty · Dział 7

Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa

Średnia arytmetyczna, prezentowanie i odczytywanie danych oraz doświadczenia losowe i obliczanie prawdopodobieństwa.

Przejdź do quizuZagraj w dziale Gry

7.1 · Statystyka

Średnia arytmetyczna

Średnia opisuje typową wartość zestawu danych. Dodajemy wszystkie wartości i dzielimy otrzymaną sumę przez liczbę wartości.

Zapamiętaj

Wzór na średnią

x‾=x1+x2+…+xnn\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}

Oceny: 4, 4, 5, 2, 6, 5

x‾=4+4+5+2+6+56=266=413\overline{x}=\frac{4+4+5+2+6+5}{6}=\frac{26}{6}=4\frac13

Średnia nie musi być jedną z danych ani liczbą całkowitą.

Odtwarzanie sumy ze średniej

Średnia pięciu wyników wynosi 12, więc ich suma to:

12⋅5=6012\cdot5=60

Wskazówka egzaminacyjna

Najpierw sprawdź, ile jest danych. Powtarzające się wartości liczymy tyle razy, ile występują.

Tabela, diagram słupkowy i diagram kołowy

Te same dane można przedstawić na kilka sposobów. Tabela podaje dokładne wartości, diagram słupkowy ułatwia porównanie kategorii, a diagram kołowy pokazuje części całości.

Wykres słupkowy

Liczba uczniów, którzy otrzymali poszczególne oceny ze sprawdzianu.

Wykres słupkowyLiczba uczniów, którzy otrzymali poszczególne oceny ze sprawdzianu.0246822538455ocenaliczba uczniów

Wykres kołowy

Sposób dojazdu do szkoły w grupie 20 uczniów.

Wykres kołowySposób dojazdu do szkoły w grupie 20 uczniów.40%30%20%10%AutobusPieszoRowerSamochód

Wykres liniowy

Wynik próbnego testu w pięciu kolejnych tygodniach.

Wykres liniowyWynik próbnego testu w pięciu kolejnych tygodniach.40%50%60%70%80%52%160%258%372%480%5tydzień
FormaNajlepiej pokazujeNa co uważać
Tabeladokładne wartościnagłówki i jednostki
Diagram słupkowyporównanie kategoriiskalę osi pionowej
Diagram kołowyudziały w całościsuma udziałów to 100%

Procenty i kąty na diagramie kołowym

Całe koło odpowiada 100% danych i kątowi 360°. Zatem 1% odpowiada kątowi 3,6°.

30%70%
30%⋅360∘=108∘30\%\cdot360^\circ=108^\circ

W drugą stronę dzielimy kąt wycinka przez 360° i zamieniamy wynik na procent.

108∘360∘⋅100%=30%\frac{108^\circ}{360^\circ}\cdot100\%=30\%

Zapamiętaj

Od liczebności do wycinka

udział procentowy=liczebnosˊcˊ kategoriiliczba wszystkich danych⋅100%\text{udział procentowy}=\frac{\text{liczebność kategorii}}{\text{liczba wszystkich danych}}\cdot100\%

Wykres punktowy

Na wykresie punktowym każda para liczb jest jednym punktem. Taki wykres pozwala dostrzec zależność między dwiema wielkościami, na przykład liczbą kupionych produktów i ceną jednego produktu.

0123456789100123456liczba róż w bukieciecena jednej róży [zł]

Wskazówka egzaminacyjna

Punktów nie łączymy, jeśli dane dotyczą oddzielnych wariantów. Zawsze odczytuj opis obu osi i ich skalę.

Wykres liniowy

Wykres liniowy pokazuje, jak wielkość zmienia się w czasie lub wraz ze zmianą innego parametru. Odcinek poziomy oznacza brak zmiany, rosnący — wzrost, a opadający — spadek.

012345601234567czas [h]odległość od celu [km]

Jak czytać postoje i tempo?

Poziome odcinki oznaczają postój. Im bardziej stromy jest odcinek opadający, tym szybciej turysta zbliża się do celu.

7.2 · Rachunek prawdopodobieństwa

Doświadczenie losowe i wyniki

Doświadczenie losowe można powtarzać, ma ono określony zestaw możliwych wyników, ale nie potrafimy z góry przewidzieć wyniku pojedynczej próby.

1. Powtarzalność

Możemy wykonać doświadczenie wiele razy.

2. Znane możliwości

Potrafimy wypisać wszystkie możliwe wyniki.

3. Niepewny wynik

Przed próbą nie wiemy, który wynik nastąpi.

Jeden rzut sześcienną kostką

Zbiór wszystkich wyników:

Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}

Zdarzenie A: „wypadnie liczba parzysta”:

A={2,4,6}A=\{2,4,6\}

Zapamiętaj

Wyniki sprzyjające

Wynik sprzyja zdarzeniu, jeśli powoduje jego zajście. Zdarzenie może mieć jeden, kilka, wszystkie albo żadnego wyniku sprzyjającego.

Doświadczenia wieloetapowe

Gdy doświadczenie składa się z kilku etapów, wygodnie stosować tabelę lub drzewko. Każda droga od początku do końca opisuje jeden wynik.

Drzewko prawdopodobieństwa

Dwa rzuty uczciwą monetą. Na każdej gałęzi prawdopodobieństwo wynosi 1/2.

Drzewko prawdopodobieństwaDwa rzuty uczciwą monetą. Na każdej gałęzi prawdopodobieństwo wynosi 1/2.STARTPIERWSZY RZUTWYNIK DWÓCH RZUTÓW1/21/21/21/21/21/2startOROOORRORRP(każdej ścieżki) = 1/2 · 1/2 = 1/4

Co najmniej jeden orzeł w dwóch rzutach

Wyniki to OO, OR, RO i RR. Zdarzeniu sprzyjają OO, OR i RO, więc są trzy wyniki sprzyjające spośród czterech.

P(co najmniej jeden orzeł)=34P(\text{co najmniej jeden orzeł})=\frac34

Prawdopodobieństwo zdarzenia

Jeżeli wszystkie wyniki są jednakowo możliwe, prawdopodobieństwo obliczamy jako iloraz liczby wyników sprzyjających i liczby wszystkich możliwych wyników.

Zapamiętaj

Klasyczny wzór

P(A)=liczba wynikoˊw sprzyjających zdarzeniu Aliczba wszystkich moz˙liwych wynikoˊwP(A)=\frac{\text{liczba wyników sprzyjających zdarzeniu }A}{\text{liczba wszystkich możliwych wyników}}
0≤P(A)≤10\le P(A)\le1

Losowanie jednej kuli

W pudełku są 3 kule czerwone, 2 niebieskie i 5 zielonych. Prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli:

P(C)=33+2+5=310P(C)=\frac{3}{3+2+5}=\frac3{10}

Zdarzenie niemożliwe

P(A)=0P(A)=0

Nie ma żadnego wyniku sprzyjającego.

Zdarzenie pewne

P(A)=1P(A)=1

Każdy możliwy wynik sprzyja zdarzeniu.

Wskazówka egzaminacyjna

Ułamek warto skrócić. Prawdopodobieństwo nie może być ujemne ani większe od 1.

Quiz · 10 pytań

Sprawdź statystykę i prawdopodobieństwo

Wybierz odpowiedź, a od razu zobaczysz krótkie wyjaśnienie.

1. Średnia liczb 3, 5, 8 i 12 wynosi:

2. Średnia pięciu liczb wynosi 8. Jaka jest ich suma?

3. W diagramie kołowym 35% danych odpowiada kątowi:

4. Który wykres najlepiej pokazuje zmianę temperatury w ciągu dnia?

5. Czy rzut sześcienną kostką jest doświadczeniem losowym?

6. Ile wyników ma przestrzeń zdarzeń jednego rzutu zwykłą kostką?

7. W rzucie kostką zdarzeniu „liczba parzysta” sprzyjają wyniki:

8. Prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby większej od 4 na kostce wynosi:

9. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe:

10. Rzucamy dwa razy monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania dwóch orłów wynosi: