Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Egzamin ósmoklasisty · Dział 6

Geometria przestrzenna

Graniastosłupy i ostrosłupy, ich siatki, pola powierzchni, objętości oraz obliczenia w prostopadłościanie i sześcianie.

Przejdź do quizuZagraj w dziale Gry

6.1 · Graniastosłupy

Budowa graniastosłupa

Graniastosłup ma dwie przystające i równoległe podstawy. Odpowiadające im wierzchołki są połączone krawędziami bocznymi, a pozostałe ściany nazywamy ścianami bocznymi.

podstawaHkrawędźboczna
Dwie przystające podstawy mają po pięć boków. W graniastosłupie prostym krawędź boczna jest wysokością H.

Zapamiętaj

Wysokość bryły

Wysokość graniastosłupa to długość odcinka prostopadłego do obu płaszczyzn podstaw. W graniastosłupie prostym jest równa długości krawędzi bocznej; w pochyłym na ogół jest od niej krótsza.

Graniastosłup prosty, pochyły i prawidłowy

Prosty

Krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw.

H

Pochyły

Krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw.

Prawidłowy

Jest prosty, a jego podstawa to wielokąt foremny.

Wskazówka egzaminacyjna

Nazwa graniastosłupa pochodzi od podstawy. Podstawa pięciokątna oznacza graniastosłup pięciokątny — niezależnie od kształtu ścian bocznych.

Siatka graniastosłupa

Siatka pokazuje wszystkie ściany rozłożone na płaszczyźnie. Musi zawierać dwie przystające podstawy i tyle ścian bocznych, ile boków ma jedna podstawa.

podstawapodstawaściana bocznaściana bocznaściana bocznaLinie przerywane — zgięcia

Zapamiętaj

Kontrola siatki

Sprawdź liczbę i kształt ścian, a potem wyobraź sobie składanie. Krawędzie, które po złożeniu mają się spotkać, muszą mieć tę samą długość.

Pole powierzchni i objętość graniastosłupa

Pole całkowite

Pc=2Pp+PbP_c=2P_p+P_b

Dwie podstawy oraz wszystkie ściany boczne.

Objętość

V=Pp⋅HV=P_p\cdot H

Pole podstawy pomnożone przez wysokość bryły.

Graniastosłup prawidłowy trójkątny

Podstawa jest trójkątem równobocznym o boku 4 cm, a wysokość bryły wynosi 7 cm.

Pp=4234=43 cm2P_p=\frac{4^2\sqrt3}{4}=4\sqrt3\text{ cm}^2
V=43⋅7=283 cm3V=4\sqrt3\cdot7=28\sqrt3\text{ cm}^3
Pc=2⋅43+3⋅4⋅7=83+84 cm2P_c=2\cdot4\sqrt3+3\cdot4\cdot7=8\sqrt3+84\text{ cm}^2

Wskazówka egzaminacyjna

Najpierw oblicz pole jednej podstawy. Dopiero potem podstawiaj do wzoru na pole całkowite lub objętość.

Prostopadłościan i sześcian

dabc

Prostopadłościan o krawędziach a, b, c

d=a2+b2+c2d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}
Pc=2(ab+ac+bc)P_c=2(ab+ac+bc)
V=abcV=abc

Zapamiętaj

Sześcian o krawędzi a

d=a3Pc=6a2V=a3d=a\sqrt3\qquad P_c=6a^2\qquad V=a^3

Prostopadłościan 3 cm × 4 cm × 12 cm

d=32+42+122=169=13 cmd=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=\sqrt{169}=13\text{ cm}
V=3⋅4⋅12=144 cm3V=3\cdot4\cdot12=144\text{ cm}^3

Jednostki objętości i pojemności

Przy zamianie sąsiednich jednostek długości mnożnik wynosi 10, ale dla objętości podnosimy go do trzeciej potęgi: 103=100010^3=1000.

1 m3=1000 dm3=1 000 000 cm31\text{ m}^3=1000\text{ dm}^3=1\,000\,000\text{ cm}^3
1 l=1 dm31 ml=1 cm31\text{ l}=1\text{ dm}^3\qquad1\text{ ml}=1\text{ cm}^3

Zamień 2,7 dm³ na cm³ i litry

2,7 dm3=2700 cm3=2,7 l2{,}7\text{ dm}^3=2700\text{ cm}^3=2{,}7\text{ l}

Wskazówka egzaminacyjna

Jednostki pola zmieniają się 100 razy, a jednostki objętości 1000 razy. Zawsze sprawdź, czy w zadaniu występuje kwadrat, czy sześcian.

6.2 · Ostrosłupy

Budowa i rodzaje ostrosłupów

Ostrosłup ma jedną podstawę będącą wielokątem. Jego ściany boczne są trójkątami, które spotykają się we wspólnym wierzchołku.

HSOO — spodek wysokości, SO = H

Zapamiętaj

Ostrosłup prosty i prawidłowy

W ostrosłupie prostym wszystkie krawędzie boczne są równe. Wtedy spodek wysokości jest środkiem okręgu opisanego na podstawie. Ostrosłup prawidłowy jest prosty, a jego podstawa to wielokąt foremny.

Wskazówka egzaminacyjna

Wysokość ostrosłupa jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Nie należy mylić jej z wysokością ściany bocznej.

Czworościan i siatka ostrosłupa

Czworościan foremny

Ma 4 przystające ściany będące trójkątami równobocznymi i 6 równych krawędzi.

Siatka ostrosłupa czworokątnego

Jedna czworokątna podstawa i cztery trójkątne ściany boczne.

Zapamiętaj

Jak rozpoznać siatkę ostrosłupa

Do każdego boku wielokąta będącego podstawą musi być przypisana jedna trójkątna ściana boczna. Trójkąty mogą być rozłożone na różne sposoby, o ile po złożeniu spotkają się w jednym wierzchołku.

Pole powierzchni i objętość ostrosłupa

Pole całkowite

Pc=Pp+PbP_c=P_p+P_b

Jedna podstawa oraz wszystkie trójkątne ściany boczne.

Objętość

V=13Pp⋅HV=\frac13P_p\cdot H

Jedna trzecia objętości graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości.

Ostrosłup prawidłowy czworokątny

Podstawa ma bok 12 cm, wysokość bryły wynosi 8 cm, a wysokość każdej ściany bocznej 10 cm.

Pp=122=144 cm2P_p=12^2=144\text{ cm}^2
Pb=4⋅12⋅102=240 cm2P_b=4\cdot\frac{12\cdot10}{2}=240\text{ cm}^2
Pc=144+240=384 cm2P_c=144+240=384\text{ cm}^2
V=13⋅144⋅8=384 cm3V=\frac13\cdot144\cdot8=384\text{ cm}^3

Wskazówka egzaminacyjna

Do objętości używamy wysokości bryły, a do pól trójkątnych ścian bocznych — wysokości tych ścian. To dwie różne długości.

Quiz · 10 pytań

Sprawdź geometrię przestrzenną

Wybierz odpowiedź, a od razu zobaczysz krótkie wyjaśnienie.

1. Ile podstaw ma każdy graniastosłup?

2. Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, którego podstawa jest:

3. Siatka graniastosłupa trójkątnego składa się z:

4. Prostopadłościan ma wymiary 2 cm, 3 cm i 5 cm. Jaka jest jego objętość?

5. Jaka jest przekątna sześcianu o krawędzi 4 cm?

6. Ile podstaw ma ostrosłup?

7. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie:

8. Ostrosłup ma pole podstawy 36 cm² i wysokość 10 cm. Objętość wynosi:

9. Ile centymetrów sześciennych ma 2,5 dm³?

10. Czworościan foremny ma: