Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Egzamin ósmoklasisty · Dział 5

Planimetria

Własności figur płaskich, twierdzenie Pitagorasa, pola i obwody oraz geometria w układzie współrzędnych.

Przejdź do quizuZagraj w dziale Gry

5.1 · Własności figur na płaszczyźnie

Kąty i ich zależności

Kąt może być ostry, prosty, rozwarty, półpełny albo pełny. W zadaniach często korzystamy z par kątów, których miary wynikają z położenia ramion.

αααβKąty wierzchołkowe są równeα + β = 180°

Kąty wierzchołkowe są równe.

Kąty przyległe mają sumę 180°.

Zapamiętaj

Kąty przy prostych równoległych

Gdy dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, kąty odpowiadające i naprzemianległe są równe. Kąty jednostronne wewnętrzne mają sumę 180°.

Proste i odległość

Dwie proste na płaszczyźnie mogą się przecinać albo być równoległe. Proste prostopadłe przecinają się pod kątem 90°.

Równoległe

Nie mają punktu wspólnego

Prostopadłe

Tworzą cztery kąty proste

Przecinające się

Mają jeden punkt wspólny

Zapamiętaj

Najkrótsza droga

Odległość punktu od prostej to długość odcinka prostopadłego poprowadzonego z punktu do tej prostej. Odległość prostych równoległych mierzymy również odcinkiem prostopadłym.

Trójkąty

Trójkąty klasyfikujemy według boków jako różnoboczne, równoramienne i równoboczne, a według kątów jako ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne.

Równoboczny

Wszystkie boki równe, kąty po 60°

Równoramienny

Dwa boki i kąty przy podstawie są równe

Prostokątny

Jeden kąt ma 90°

Zapamiętaj

Nierówność trójkąta

Z trzech odcinków można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy suma długości każdych dwóch jest większa od długości trzeciego. Dla uporządkowanych boków a≤b≤ca\le b\le c wystarczy sprawdzić a+b>ca+b>c.

Czy odcinki 4 cm, 7 cm i 12 cm utworzą trójkąt?

4+7=11<124+7=11<12

Nie. Dwa krótsze odcinki nie połączą końców najdłuższego.

Kąty w trójkącie i czworokącie

Trójkąt

α+β+γ=180∘\alpha+\beta+\gamma=180^\circ

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.

Czworokąt

α+β+γ+δ=360∘\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ

Przekątna dzieli go na dwa trójkąty.

Kąty trójkąta równoramiennego

Kąt przy wierzchołku ma 46°. Każdy kąt przy podstawie ma:

180∘−46∘2=67∘\frac{180^\circ-46^\circ}{2}=67^\circ

Czworokąty, symetrie i wielokąty foremne

FiguraBokiKąty i przekątne
Kwadratcztery równekąty proste; przekątne równe, prostopadłe i dzielą kąty
Prostokątprzeciwległe równekąty proste; przekątne równe
Rombcztery równeprzekątne prostopadłe i dzielą kąty
Równoległobokprzeciwległe równe i równoległekąty przeciwległe równe; przekątne dzielą się na połowy
Trapezco najmniej jedna para równoległychw równoramiennym kąty przy podstawie i przekątne są równe
Deltoiddwie pary sąsiednich równychprzekątne prostopadłe; jedna dzieli drugą na połowy

Zapamiętaj

Symetria i foremność

Figura ma oś symetrii, gdy po złożeniu wzdłuż tej prostej obie części się pokrywają. Ma środek symetrii, gdy obrót o 180° nie zmienia figury. Wielokąt foremny ma wszystkie boki i wszystkie kąty równe.

Wskazówka egzaminacyjna

Nie oceniaj własności tylko po wyglądzie rysunku. Korzystaj z oznaczeń równych boków, kątów i prostych równoległych.

Okrąg, koło i przystawanie figur

Srśrednica dcięciwa

Okrąg to punkty leżące w tej samej odległości od środka. Koło zawiera okrąg i jego wnętrze.

Średnica przechodzi przez środek i ma długość d=2rd=2r. Każda średnica jest cięciwą, ale nie każda cięciwa jest średnicą.

Zapamiętaj

Figury przystające

Figury są przystające, gdy mają taki sam kształt i rozmiar — można je na siebie nałożyć. Trójkąty są przystające na podstawie cech: bok–bok–bok (bbb), bok–kąt–bok (bkb) oraz kąt–bok–kąt (kbk).

5.2 · Twierdzenie Pitagorasa

Trójkąt prostokątny

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

abc
a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

Twierdzenie odwrotne pozwala sprawdzić, czy trójkąt jest prostokątny: jeśli dla najdłuższego boku zachodzi ta równość, kąt naprzeciw niego ma 90°.

Przekątna prostokąta o bokach 6 cm i 8 cm

d2=62+82=36+64=100⟹d=10 cmd^2=6^2+8^2=36+64=100\quad\Longrightarrow\quad d=10\text{ cm}

Szczególne trójkąty prostokątne

Kąty 45°–45°–90°

a, a, a2a,\ a,\ a\sqrt2

To połowa kwadratu. Przeciwprostokątna jest przekątną kwadratu.

Kąty 30°–60°–90°

a, a3, 2aa,\ a\sqrt3,\ 2a

To połowa trójkąta równobocznego. Krótszy bok leży naprzeciw kąta 30°.

Zapamiętaj

Trójkąt równoboczny

h=a32P=a234h=\frac{a\sqrt3}{2}\qquad P=\frac{a^2\sqrt3}{4}

5.3 · Obwody, pola i jednostki

Pola i obwody figur

Obwód jest sumą długości boków. Pole opisuje powierzchnię figury i zapisujemy je w jednostkach kwadratowych.

Kwadrat

Obwód
O=4aO=4a
Pole
P=a2P=a^2

Prostokąt

Obwód
O=2a+2bO=2a+2b
Pole
P=abP=ab

Trójkąt

Obwód
O=a+b+cO=a+b+c
Pole
P=ah2P=\frac{ah}{2}

Równoległobok

Obwód
O=2a+2bO=2a+2b
Pole
P=ahP=ah

Romb

Obwód
O=4aO=4a
Pole
P=ah=ef2P=ah=\frac{ef}{2}

Trapez

Obwód
O=a+b+c+dO=a+b+c+d
Pole
P=(a+b)h2P=\frac{(a+b)h}{2}

Wskazówka egzaminacyjna

Wysokość musi być prostopadła do boku, który wybierasz jako podstawę. W trapezie aa i bb we wzorze na pole oznaczają boki równoległe.

Jednostki pola

Przy zamianie jednostek długości przelicznik podnosimy do kwadratu. Dlatego przejście o jeden stopień między sąsiednimi jednostkami metrycznymi pola zmienia liczbę 100 razy.

1 m2=100 dm2=10 000 cm21\text{ m}^2=100\text{ dm}^2=10\,000\text{ cm}^2
1 a=100 m21 ha=10 000 m21\text{ a}=100\text{ m}^2\qquad 1\text{ ha}=10\,000\text{ m}^2

Zamień 2,4 m² na cm²

2,4⋅10 000=24 000 cm22{,}4\cdot10\,000=24\,000\text{ cm}^2

5.4 · Układ współrzędnych

Punkty, odcinki i proste

011ABSxy

Zapamiętaj

Środek i długość odcinka

S=(xA+xB2,yA+yB2)S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)
∣AB∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

A=(1, 2), B=(7, 10)

S=(4,6)S=(4,6)
∣AB∣=62+82=10|AB|=\sqrt{6^2+8^2}=10

Wskazówka egzaminacyjna

Aby znaleźć punkty kratowe należące do prostej, przedłuż ją i sprawdź miejsca, w których przechodzi dokładnie przez przecięcia linii siatki.

Quiz · 10 pytań

Sprawdź planimetrię

Wybierz odpowiedź. Po każdym wyborze zobaczysz krótkie wyjaśnienie.

1. Jeden z kątów przyległych ma 68°. Ile ma drugi?

2. Który zestaw długości może być bokami trójkąta?

3. Trójkąt równoramienny ma kąt przy wierzchołku 40°. Ile ma każdy kąt przy podstawie?

4. Ile wynosi suma kątów wewnętrznych czworokąta?

5. Która cecha przystawania oznacza zgodność dwóch boków i kąta zawartego między nimi?

6. Przyprostokątne trójkąta mają długości 9 cm i 12 cm. Ile ma przeciwprostokątna?

7. W trójkącie 30°–60°–90° krótsza przyprostokątna ma 5 cm. Przeciwprostokątna ma:

8. Trapez ma podstawy 6 cm i 10 cm oraz wysokość 4 cm. Jakie jest jego pole?

9. Ile centymetrów kwadratowych ma 0,6 m²?

10. Jaki jest środek odcinka o końcach A=(−2, 4) i B=(6, 10)?