Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Egzamin ósmoklasisty · Dział 4

Wyrażenia algebraiczne i równania

Od tłumaczenia treści na język algebry po równania, zadania tekstowe i proporcjonalność prostą.

Przejdź do quizuZagraj w dziale Gry

4.1 · Wyrażenia algebraiczne

Zapisywanie i nazywanie wyrażeń

Wyrażenie algebraiczne składa się z liczb, zmiennych i znaków działań. Jego nazwę wyznacza działanie wykonywane jako ostatnie zgodnie z kolejnością działań.

Suma liczby x i 7

x+7x+7

Iloczyn 5 i różnicy a−b

5(a−b)5(a-b)

Kwadrat sumy x i 3

(x+3)2(x+3)^2

Iloraz liczby y przez 4

y4\frac{y}{4}

Wskazówka egzaminacyjna

„Różnica liczby x i 5” to x−5x-5, ale „liczba o 5 mniejsza od x” oznacza dokładnie to samo. Uważaj na kolejność przy odejmowaniu i dzieleniu.

Wartość liczbowa wyrażenia

Aby obliczyć wartość wyrażenia, podstawiamy pod zmienne podane liczby, zapisujemy liczby ujemne w nawiasach i wykonujemy działania.

Oblicz 2x²−3y dla x=−2 i y=5

2⋅(−2)2−3⋅5=2⋅4−15=−72\cdot(-2)^2-3\cdot5=2\cdot4-15=-7

Wskazówka egzaminacyjna

Najczęstszy błąd to pominięcie nawiasu: dla x=−2x=-2 mamy x2=(−2)2=4x^2=(-2)^2=4.

Jednomiany i wyrazy podobne

Jednomian jest liczbą, zmienną albo iloczynem liczb i zmiennych. Jednomiany podobne mają identyczną część literową — te same zmienne w tych samych potęgach.

Podobne

3x2yi−7x2y3x^2y\quad\text{i}\quad-7x^2y

Niepodobne

3x2yi3xy23x^2y\quad\text{i}\quad3xy^2

Zapamiętaj

Redukcja i mnożenie jednomianów

3x2y+6x2y=9x2y3x^2y+6x^2y=9x^2y
(4x2y)(5x3y6)=20x5y7(4x^2y)(5x^3y^6)=20x^5y^7

Dodajemy tylko współczynniki wyrazów podobnych. Przy mnożeniu mnożymy współczynniki i dodajemy wykładniki tych samych zmiennych.

Sumy algebraiczne i nawiasy

Usuwając nawias poprzedzony minusem, zmieniamy znak każdego składnika. Mnożąc przez nawias, mnożymy przez każdy jego składnik.

−(x−3y+5)=−x+3y−5-(x-3y+5)=-x+3y-5
3x(2x−5)=6x2−15x3x(2x-5)=6x^2-15x
(x+2)(x+4)=x2+6x+8(x+2)(x+4)=x^2+6x+8

Wskazówka egzaminacyjna

Przy mnożeniu dwóch nawiasów każdy składnik pierwszego nawiasu musi zostać pomnożony przez każdy składnik drugiego.

4.2 · Równania

Równanie i sprawdzanie rozwiązania

Równanie ma lewą i prawą stronę. Liczba jest rozwiązaniem, jeśli po jej podstawieniu obie strony mają tę samą wartość.

Lewa stronaPrawa strona2x + 311
Równowaga oznacza, że obie strony mają tę samą wartość. Każdą operację wykonujemy po obu stronach równania.

Czy x=4 spełnia równanie 2x+3=11?

L=2⋅4+3=11P=11L=2\cdot4+3=11\qquad P=11

Tak, ponieważ L = P.

Rozwiązywanie równań

Zapamiętaj

Dozwolone przekształcenia

  • dodanie lub odjęcie tej samej liczby po obu stronach,
  • pomnożenie lub podzielenie obu stron przez tę samą liczbę różną od zera,
  • wykonanie działań i redukcja wyrazów podobnych.

Rozwiąż 3(x−2)+5=2x+9

3x − 6 + 5 = 2x + 9

3x − 1 = 2x + 9

x − 1 = 9

x = 10

Wskazówka egzaminacyjna

Po rozwiązaniu podstaw wynik do równania. Krótkie sprawdzenie pozwala wychwycić błąd znaku.

Ile rozwiązań ma równanie?

Jedno rozwiązanie

2x+3=92x+3=9

Otrzymujemy x = 3.

Każda liczba

2(x+1)=2x+22(x+1)=2x+2

Po uproszczeniu: 0 = 0.

Brak rozwiązań

2x+1=2x+52x+1=2x+5

Po uproszczeniu: 1 = 5.

4.3 · Zadania tekstowe

Od treści zadania do równania

1. Analiza

Ustal szukaną, oznacz ją i zapisz zależności oraz jednostki.

2. Rozwiązanie

Ułóż równanie, rozwiąż je i sprawdź warunki zadania.

3. Odpowiedź

Zapisz wynik zdaniem wraz z właściwą jednostką.

Suma liczby i jej podwojenia wynosi 36

Oznaczmy szukaną liczbę przez xx.

x+2x=36⟹3x=36⟹x=12x+2x=36\quad\Longrightarrow\quad3x=36\quad\Longrightarrow\quad x=12

Sprawdzenie: 12 + 2·12 = 36. Szukana liczba to 12.

Wielkości wprost proporcjonalne

Dwie dodatnie wielkości są wprost proporcjonalne, gdy ich iloraz jest stały. Jeśli jedna rośnie trzy razy, druga także rośnie trzy razy.

Zapamiętaj

Współczynnik proporcjonalności

yx=aczyliy=ax\frac{y}{x}=a\qquad\text{czyli}\qquad y=ax

Jabłka kosztują 4 zł za kilogram

y=4xy=4x

Dla 3 kg koszt wynosi 4·3 = 12 zł. Stały iloraz ceny do masy jest równy 4 zł/kg.

Wskazówka egzaminacyjna

Nie każda zależność rosnąca jest proporcjonalnością prostą. Wykres zależności y=axy=ax przechodzi przez punkt (0,0).

Quiz · 10 pytań

Sprawdź algebrę i równania

Wybierz odpowiedź, a od razu zobaczysz wyjaśnienie.

1. Który zapis oznacza potrojoną różnicę liczb x i 4?

2. Oblicz 2x²−y dla x=−3 i y=5.

3. Zredukuj: 4x²y−7x²y+5x²y

4. Usuń nawias: −(2x−3y+4)

5. Rozwiń: (x+2)(x+3)

6. Czy x=4 spełnia równanie 3x−5=7?

7. Rozwiąż: 4x−7=2x+9

8. Ile rozwiązań ma równanie 3(x+2)=3x+6?

9. Suma liczby i jej podwojenia wynosi 45. Jaka to liczba?

10. 5 kg jabłek kosztuje 20 zł. Ile kosztuje 8 kg przy tej samej cenie za kilogram?