Egzamin ósmoklasisty · Dział 3

Potęgi i pierwiastki

Najważniejsze prawa działań, notacja wykładnicza, upraszczanie pierwiastków i szybkie szacowanie ich wartości.

3.1 · Potęgi

Potęga o wykładniku naturalnym

Potęga jest skróconym zapisem iloczynu jednakowych czynników. W zapisie $a^n$ liczba $a$ jest podstawą, a $n$ wykładnikiem potęgi.

2⁷

podstawa: 2 — mnożony czynnik

wykładnik: 7 — liczba czynników

Zapamiętaj

Definicja potęgi

a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\ \text{czynników}}

a^1=a \qquad a^0=1\ \text{dla}\ a\ne0

Rozwiń i oblicz

3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81

Znak potęgi

Potęga liczby dodatniej jest dodatnia. Przy ujemnej podstawie znak zależy od parzystości wykładnika.

Wykładnik parzysty

(-3)^4=81>0

Wykładnik nieparzysty

(-3)^3=-27<0

Wskazówka egzaminacyjna

Nawias ma znaczenie:

(-2)^4=16

, ale

-2^4=-16

, bo bez nawiasu potęgujemy tylko liczbę 2.

Działania na potęgach

Sytuacja	Prawo
Ta sama podstawa — mnożenie	$a^k\cdot a^m=a^{k+m}$
Ta sama podstawa — dzielenie	$a^k:a^m=a^{k-m}$
Ten sam wykładnik — mnożenie	$a^k\cdot b^k=(ab)^k$
Ten sam wykładnik — dzielenie	$a^k:b^k=(a:b)^k$
Potęga potęgi	$(a^k)^m=a^{km}$

Dobierz właściwe prawo

8^5\cdot8^2=8^7

12^5:3^5=(12:3)^5=4^5

(9^3)^4=9^{12}

Wskazówka egzaminacyjna

Wykładniki dodajemy tylko przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie. Wyrażenie

2^3+2^4

nie jest równe

2^7

Ujemny wykładnik i notacja wykładnicza

Zapamiętaj

Potęga o wykładniku ujemnym

a^{-n}=\frac{1}{a^n}\quad\text{dla}\ a\ne0

10^{-4}=\frac{1}{10^4}=0{,}0001

Notacja wykładnicza liczby dodatniej ma postać $a\cdot10^n$ , gdzie $1\le a<10$ i $n$ jest liczbą całkowitą.

2\,800\,000\,000=2{,}8\cdot10^9

0{,}0000000425=4{,}25\cdot10^{-8}

Wskazówka egzaminacyjna

Duża liczba ma dodatni wykładnik potęgi 10, a liczba między 0 i 1 — ujemny. Współczynnik przed potęgą zawsze powinien być co najmniej 1 i mniejszy od 10.

3.2 · Pierwiastki

Pierwiastek kwadratowy

Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej $a$ to nieujemna liczba, której kwadrat jest równy $a$ .

Zapamiętaj

Najważniejsze własności

\sqrt{a}=b\quad\Longleftrightarrow\quad b\ge0\ \text{i}\ b^2=a

(\sqrt a)^2=a \qquad \sqrt{a^2}=|a|

Dlaczego pojawia się wartość bezwzględna?

\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5=|-5|

Pierwiastek kwadratowy oznacza wynik nieujemny, dlatego nie otrzymujemy −5.

Pierwiastek sześcienny

Pierwiastek trzeciego stopnia może dotyczyć także liczby ujemnej, ponieważ sześcian liczby ujemnej jest ujemny.

\sqrt[3]{64}=4

bo 4³ = 64

\sqrt[3]{-8}=-2

bo (−2)³ = −8

Mnożenie i dzielenie pierwiastków

Zapamiętaj

Pierwiastek iloczynu i ilorazu

\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}

\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac ab}\quad(b>0)

Analogiczne prawa obowiązują dla pierwiastków sześciennych.

Uprość działania

\sqrt8\cdot\sqrt2=\sqrt{16}=4

\sqrt{50}:\sqrt2=\sqrt{25}=5

Wyłączanie i włączanie czynnika

Wyłączając czynnik, szukamy pod pierwiastkiem największego pełnego kwadratu. Włączając dodatni czynnik, podnosimy go do kwadratu.

Wyłącz przed pierwiastek

\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2

Włącz pod pierwiastek

3\sqrt5=\sqrt{3^2\cdot5}=\sqrt{45}

Wskazówka egzaminacyjna

Przed dodawaniem pierwiastków najpierw je uprość. Na przykład

\sqrt8+\sqrt{18}=2\sqrt2+3\sqrt2=5\sqrt2

Szacowanie wartości pierwiastka

Szukamy dwóch kolejnych kwadratów lub sześcianów, między którymi leży liczba pod pierwiastkiem.

Oszacuj √72

8^2=64<72<81=9^2

8<\sqrt{72}<9

Oszacuj ∛20

2^3=8<20<27=3^3

2<\sqrt[3]{20}<3

Potęgi i pierwiastki

Potęga o wykładniku naturalnym

Definicja potęgi

Znak potęgi

Działania na potęgach

Ujemny wykładnik i notacja wykładnicza

Potęga o wykładniku ujemnym

Pierwiastek kwadratowy

Najważniejsze własności

Pierwiastek sześcienny

Mnożenie i dzielenie pierwiastków

Pierwiastek iloczynu i ilorazu

Wyłączanie i włączanie czynnika

Szacowanie wartości pierwiastka

Sprawdź potęgi i pierwiastki

1. Ile wynosi (−3)⁴?

2. Uprość: 5³ · 5⁴

3. Uprość: (2³)⁵

4. Liczba 0,00072 w notacji wykładniczej to:

5. Ile wynosi √(−6)²?

6. Ile wynosi ∛(−125)?

7. Uprość: √12 · √3

8. Wyłącz czynnik przed pierwiastek: √75

9. Włącz czynnik pod pierwiastek: 4√3

10. Między jakimi kolejnymi liczbami całkowitymi leży √50?