Liczby i potęgi

Czym są potęgi i pierwiastki? Zasady działań, własności, usuwanie niewymierności z mianownika

Przejdź do zadań Przejdź do quizu Zagraj w dziale Gry

Czym jest potęga?

Potęga to skrócony zapis mnożenia tej samej liczby przez siebie. W zapisie $a^n$ liczba $a$ jest podstawą potęgi, a $n$ jest wykładnikiem.

Definicja

Potęga o wykładniku naturalnym

a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \text{ razy}}

Przejdź do quizu

Przykłady

2^3

2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

5^2

5^2 = 5 \cdot 5 = 25

10^4

10^4 = 10000

(-2)^3

(-2)^3 = -8

Pierwiastki i potęgi wymierne

Pierwiastek arytmetyczny

Definicja

Pierwiastek arytmetyczny

Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia $n$ z liczby $a \ge 0$ nazywamy taką liczbę $b \ge 0$ , że:

\sqrt[n]{a}=b \quad \Longleftrightarrow \quad b^n=a

Przykłady

Pierwiastek kwadratowy

\sqrt{25}=5

5^2=25

Pierwiastek sześcienny

\sqrt[3]{8}=2

2^3=8

Ważna własność pierwiastka kwadratowego

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ prawdziwa jest równość:

Wzór

Pierwiastek z kwadratu liczby

\sqrt{a^2}=|a|

Przykłady

\sqrt{7^2}=|7|=7

Dla liczby dodatniej wynik jest taki sam.

\sqrt{(-7)^2}=|-7|=7

Dla liczby ujemnej wynik jest dodatni, bo pierwiastek arytmetyczny nie jest ujemny.

Pierwiastki z liczb ujemnych

Uwaga

Jeżeli $a < 0$ oraz stopień $n$ jest nieparzysty, to pierwiastek istnieje i jest liczbą ujemną.

Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją w zbiorze liczb rzeczywistych.

Przykłady

\sqrt[3]{-8}=-2

(-2)^3=-8

\sqrt{-9}

\text{nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych}

Praktyka

Usuwanie niewymierności z mianownika

W matematyce często przekształcamy ułamki tak, aby w mianowniku nie było pierwiastka. Nazywamy to usuwaniem niewymierności z mianownika.

Zasada

Jeden pierwiastek w mianowniku

Jeśli w mianowniku jest jeden pierwiastek, mnożymy licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek.

\frac{k}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\frac{k\sqrt{a}}{a}

Przykłady: jeden pierwiastek w mianowniku

\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}

\frac{2}{3\sqrt{5}}=\frac{2}{3\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{15}

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}

Zasada

Suma albo różnica z pierwiastkiem w mianowniku

Jeśli w mianowniku jest suma albo różnica z pierwiastkiem, mnożymy licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone.

Sprzężenie zmienia znak między składnikami: sprzężeniem $a+\sqrt{b}$ jest $a-\sqrt{b}$ , a sprzężeniem $a-\sqrt{b}$ jest $a+\sqrt{b}$ .

(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^2-b

Przykłady: mnożenie przez sprzężenie

\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}\cdot\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1

\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2}=\sqrt{5}+\sqrt{2}

\frac{2}{3+\sqrt{7}}=\frac{2}{3+\sqrt{7}}\cdot\frac{3-\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}}=\frac{2(3-\sqrt{7})}{9-7}=3-\sqrt{7}

\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{5-2}=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{6}}{3}

Potęga o wykładniku całkowitym

Definicje

Wykładnik ujemny i zerowy

Dla $a \neq 0$ oraz dodatniej liczby całkowitej $n$ definiujemy:

a^{-n}=\frac{1}{a^n}

a^0=1

Przykłady

2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}

5^0=1

Potęga o wykładniku wymiernym

Definicje

Wykładnik wymierny

Dla $a \ge 0$ oraz dodatnich liczb całkowitych $m,n$ definiujemy:

a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}

Dla $a > 0$ mamy też:

a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}

Przykłady

27^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{27}=3

16^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{16^3}=8

9^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3}

8^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{8^2}}=\frac{1}{4}

Wzory skróconego mnożenia

Kwadrat i sześcian sumy lub różnicy

Wzory skróconego mnożenia pozwalają szybko rozwijać nawiasy i rozkładać wyrażenia na czynniki. Przydają się szczególnie wtedy, gdy w wyrażeniu pojawiają się potęgi drugiego albo trzeciego stopnia.

Wzory

Wzory do potęgi drugiej

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Przykłady do potęgi drugiej

Liczby

(3+5)^2=3^2+2\cdot3\cdot5+5^2=64

Liczby

(7-2)^2=7^2-2\cdot7\cdot2+2^2=25

Pierwiastki

(2+\sqrt{3})^2=2^2+2\cdot2\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=7+4\sqrt{3}

Pierwiastki

(\sqrt{5}-1)^2=(\sqrt{5})^2-2\sqrt{5}+1=6-2\sqrt{5}

Liczba i niewiadoma

(x+4)^2=x^2+8x+16

Liczba i niewiadoma

(3x-2)^2=9x^2-12x+4

Różnica kwadratów

x^2-25=(x-5)(x+5)

Różnica kwadratów z pierwiastkiem

x^2-3=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})

Wizualizacja graficzna kwadratu sumy

Animacja pokazuje, że kwadrat o boku $a+b$ można podzielić na cztery części: $a^2$ , dwa prostokąty $ab$ oraz kwadrat $b^2$ .

(a+b)^2=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2

Wzory

Wzory do potęgi trzeciej

(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

Przykłady do potęgi trzeciej

Liczby

(2+3)^3=2^3+3\cdot2^2\cdot3+3\cdot2\cdot3^2+3^3=125

Liczby

(5-1)^3=5^3-3\cdot5^2\cdot1+3\cdot5\cdot1^2-1^3=64

Pierwiastki

(1+\sqrt{2})^3=1+3\sqrt{2}+6+2\sqrt{2}=7+5\sqrt{2}

Pierwiastki

(\sqrt{3}-1)^3=3\sqrt{3}-9+3\sqrt{3}-1=6\sqrt{3}-10

Liczba i niewiadoma

(x+2)^3=x^3+6x^2+12x+8

Liczba i niewiadoma

(2x-3)^3=8x^3-36x^2+54x-27

Suma sześcianów

x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)

Różnica sześcianów

x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)

Prawa działań na potęgach

Najważniejsze wzory

Niech $r$ i $s$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli $a > 0$ i $b > 0$ , to:

Twierdzenie

Prawa działań na potęgach

a^r \cdot a^s = a^{r+s}

(a^r)^s = a^{r \cdot s}

\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}

(a \cdot b)^r=a^r \cdot b^r

\left(\frac{a}{b}\right)^r=\frac{a^r}{b^r}

Jeśli wykładniki $r$ i $s$ są liczbami całkowitymi, wzory obowiązują dla wszystkich liczb $a \neq 0$ i $b \neq 0$ .

Przykłady

Mnożenie potęg o tej samej podstawie

2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4}=2^7

Potęga potęgi

(3^2)^4=3^{2\cdot4}=3^8

Dzielenie potęg o tej samej podstawie

\frac{5^7}{5^2}=5^{7-2}=5^5

Potęga iloczynu

(2\cdot3)^4=2^4\cdot3^4

Potęga ilorazu

\left(\frac{2}{5}\right)^3=\frac{2^3}{5^3}

Porównywanie potęg

Jak podstawa wpływa na nierówność?

Niech $x$ i $y$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

Twierdzenie

Podstawa z przedziału (0,1)

a^x < a^y \Longleftrightarrow x > y

Dla podstawy między 0 a 1 nierówność zmienia kierunek.

Twierdzenie

Podstawa większa od 1

a^x < a^y \Longleftrightarrow x < y

Dla podstawy większej od 1 nierówność zachowuje kierunek.

Przykłady

Podstawa większa od 1

2^3 < 2^5 \Longleftrightarrow 3 < 5

Dla podstawy 2 większy wykładnik daje większą wartość.

Podstawa między 0 a 1

\left(\frac{1}{2}\right)^3 > \left(\frac{1}{2}\right)^5

Dla podstawy 1/2 większy wykładnik daje mniejszą wartość.

Trening zadań

Liczby i potęgi — zadania

Wybierz poziom, rozwiąż zadanie samodzielnie, a później sprawdź odpowiedź lub pełne rozwiązanie.

Poziom: łatwy

Trudność

Wygenerowanełatwy

Mnożenie potęg

Oblicz wartość wyrażenia.

3^{2}\cdot3^{3}

Quiz

Sprawdź, czy rozumiesz liczby i potęgi

Odpowiedz na 10 pytań dotyczących potęg, pierwiastków, wzorów skróconego mnożenia i usuwania niewymierności z mianownika.

Liczby i potęgi

Czym jest potęga?

Potęga o wykładniku naturalnym

Pierwiastek arytmetyczny

Pierwiastek arytmetyczny

Ważna własność pierwiastka kwadratowego

Pierwiastek z kwadratu liczby

Pierwiastki z liczb ujemnych

Usuwanie niewymierności z mianownika

Jeden pierwiastek w mianowniku

Suma albo różnica z pierwiastkiem w mianowniku

Potęga o wykładniku całkowitym

Wykładnik ujemny i zerowy

Potęga o wykładniku wymiernym

Wykładnik wymierny

Kwadrat i sześcian sumy lub różnicy

Wzory do potęgi drugiej

Wzory do potęgi trzeciej

Najważniejsze wzory

Prawa działań na potęgach

Jak podstawa wpływa na nierówność?

Podstawa z przedziału (0,1)

Podstawa większa od 1

Liczby i potęgi — zadania

Mnożenie potęg

Sprawdź, czy rozumiesz liczby i potęgi

1. Ile wynosi $2^{-3}$ ?

2. Ile wynosi $\sqrt{(-5)^2}$ ?

3. Które przekształcenie usuwa niewymierność z mianownika ułamka $\frac{3}{\sqrt{7}}$ ?

4. Jakie jest sprzężenie wyrażenia $2+\sqrt{3}$ ?

5. Który wzór jest poprawnym rozwinięciem $(a-b)^2$ ?

6. Ile wynosi $(x+3)^2$ ?

7. Który wzór opisuje różnicę sześcianów $a^3-b^3$ ?

8. Uprość wyrażenie $3^2\cdot3^5$ .

9. Jeśli $0<a<1$ , to z nierówności $a^x<a^y$ wynika:

10. Ile wynosi $16^{\frac{1}{2}}$ ?

Liczby i potęgi

Czym jest potęga?

Potęga o wykładniku naturalnym

Pierwiastek arytmetyczny

Pierwiastek arytmetyczny

Ważna własność pierwiastka kwadratowego

Pierwiastek z kwadratu liczby

Pierwiastki z liczb ujemnych

Usuwanie niewymierności z mianownika

Jeden pierwiastek w mianowniku

Suma albo różnica z pierwiastkiem w mianowniku

Potęga o wykładniku całkowitym

Wykładnik ujemny i zerowy

Potęga o wykładniku wymiernym

Wykładnik wymierny

Kwadrat i sześcian sumy lub różnicy

Wzory do potęgi drugiej

Wzory do potęgi trzeciej

Najważniejsze wzory

Prawa działań na potęgach

Jak podstawa wpływa na nierówność?

Podstawa z przedziału (0,1)

Podstawa większa od 1

Liczby i potęgi — zadania

Mnożenie potęg

Sprawdź, czy rozumiesz liczby i potęgi

1. Ile wynosi 2−32^{-3}2−3?

2. Ile wynosi (−5)2\sqrt{(-5)^2}(−5)2​?

3. Które przekształcenie usuwa niewymierność z mianownika ułamka 37\frac{3}{\sqrt{7}}7​3​?

4. Jakie jest sprzężenie wyrażenia 2+32+\sqrt{3}2+3​?

5. Który wzór jest poprawnym rozwinięciem (a−b)2(a-b)^2(a−b)2?

6. Ile wynosi (x+3)2(x+3)^2(x+3)2?

7. Który wzór opisuje różnicę sześcianów a3−b3a^3-b^3a3−b3?

8. Uprość wyrażenie 32⋅353^2\cdot3^532⋅35.

9. Jeśli 0<a<10<a<10<a<1, to z nierówności ax<aya^x<a^yax<ay wynika:

10. Ile wynosi 161216^{\frac{1}{2}}1621​?

1. Ile wynosi $2^{-3}$ ?

2. Ile wynosi $\sqrt{(-5)^2}$ ?

3. Które przekształcenie usuwa niewymierność z mianownika ułamka $\frac{3}{\sqrt{7}}$ ?

4. Jakie jest sprzężenie wyrażenia $2+\sqrt{3}$ ?

5. Który wzór jest poprawnym rozwinięciem $(a-b)^2$ ?

6. Ile wynosi $(x+3)^2$ ?

7. Który wzór opisuje różnicę sześcianów $a^3-b^3$ ?

8. Uprość wyrażenie $3^2\cdot3^5$ .

9. Jeśli $0<a<1$ , to z nierówności $a^x<a^y$ wynika:

10. Ile wynosi $16^{\frac{1}{2}}$ ?