Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Logarytmy

Definicja logarytmu, podstawowe własności, zmiana podstawy i logarytm dziesiętny.

Przejdź do zadańPrzejdź do quizuZagraj w dziale Gry

Logarytmy

Definicja logarytmu

Logarytm mówi, do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę aa, aby otrzymać liczbę bb.

Definicja

Logarytm przy podstawie a

Niech a>0a > 0, a≠1a \neq 1 oraz b>0b > 0. Logarytmem log⁡ab\log_a b liczby bb przy podstawie aa nazywamy wykładnik cc, do którego trzeba podnieść aa, aby otrzymać bb.

log⁡ab=c⟺ac=b\log_a b=c \quad \Longleftrightarrow \quad a^c=b

Uwaga

Podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od 1, czyli a>0a>0 oraz a≠1a\neq1. Liczba logarytmowana też musi być dodatnia, czyli b>0b>0.

Przejdź do quizu
Przykłady: zamiana logarytmu na potęgę

Podstawowy przykład

log⁡28=3\log_2 8=3
23=82^3=8

Pytamy: do której potęgi podnieść 2, żeby otrzymać 8? Odpowiedź: do trzeciej.

Logarytm z wynikiem 2

log⁡525=2\log_5 25=2
52=255^2=25

Logarytm z ułamkiem

log⁡319=−2\log_3 \frac{1}{9}=-2
3−2=193^{-2}=\frac{1}{9}

Logarytm z pierwiastkiem

log⁡42=12\log_4 2=\frac{1}{2}
412=4=24^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2

Równoważna postać definicji

Z definicji logarytmu wynika ważna równość. Jeśli najpierw obliczamy logarytm, a potem podnosimy podstawę do tego wyniku, wracamy do liczby logarytmowanej.

Wzór

Podstawa podniesiona do logarytmu

alog⁡ab=ba^{\log_a b}=b
Przykłady
2log⁡27=72^{\log_2 7}=7

Podstawa potęgi i podstawa logarytmu są takie same, więc zostaje liczba logarytmowana.

5log⁡513=135^{\log_5 13}=13
10log⁡103=310^{\log_{10} 3}=3

Własności logarytmów

Logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi

Dla x>0x>0, y>0y>0 oraz dowolnej liczby rzeczywistej rr prawdziwe są poniższe wzory.

Twierdzenie

Podstawowe własności logarytmów

log⁡a(x⋅y)=log⁡ax+log⁡ay\log_a(x\cdot y)=\log_a x+\log_a y
log⁡a(xy)=log⁡ax−log⁡ay\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a x-\log_a y
log⁡axr=r⋅log⁡ax\log_a x^r=r\cdot\log_a x
Przykłady: własności logarytmów

Logarytm iloczynu

log⁡2(8⋅4)=log⁡28+log⁡24=3+2=5\log_2(8\cdot4)=\log_2 8+\log_2 4=3+2=5
log⁡232=5\log_2 32=5

Logarytm ilorazu

log⁡3(819)=log⁡381−log⁡39=4−2=2\log_3\left(\frac{81}{9}\right)=\log_3 81-\log_3 9=4-2=2
log⁡39=2\log_3 9=2

Logarytm potęgi

log⁡5253=3log⁡525=3⋅2=6\log_5 25^3=3\log_5 25=3\cdot2=6

Użycie zmiennej

log⁡a(x4)=4log⁡ax\log_a(x^4)=4\log_a x

Wykładnik można przenieść przed logarytm jako mnożnik.

Funkcja logarytmiczna

Funkcja logarytmiczna ma wzór f(x)=log⁡axf(x)=\log_a x, gdzie a>0a>0 oraz a≠1a\neq1. Jej dziedziną są liczby dodatnie, czyli x>0x>0.

Własność

Monotoniczność funkcji logarytmicznej

a>1⇒f(x)=log⁡ax jest rosnącaa>1 \Rightarrow f(x)=\log_a x\ \text{jest rosnąca}
0<a<1⇒f(x)=log⁡ax jest malejąca0<a<1 \Rightarrow f(x)=\log_a x\ \text{jest malejąca}
Wykres funkcji logarytmicznej f(x)=log_2 x
Dla podstawy a=2a=2 wykres jest rosnący.
Wykres funkcji logarytmicznej f(x)=log_{0,5} x
Dla podstawy a=0,5a=0{,}5 wykres jest malejący.

Logarytm dziesiętny

Oznaczenie

Logarytm przy podstawie 10

Zapisy log⁡x\log x oraz lg⁡x\lg x oznaczają logarytm dziesiętny, czyli:

log⁡x=lg⁡x=log⁡10x\log x=\lg x=\log_{10}x
Przykłady
log⁡100=2\log 100=2
102=10010^2=100
lg⁡1000=3\lg 1000=3
103=100010^3=1000
log⁡0,01=−2\log 0{,}01=-2
10−2=0,0110^{-2}=0{,}01

Trening zadań

Logarytmy — zadania

Wybierz poziom, rozwiąż zadanie samodzielnie, a później sprawdź odpowiedź lub pełne rozwiązanie.

Poziom: łatwy
Trudność
Wygenerowanełatwy

Logarytm z potęgi

Oblicz logarytm przy podstawie 10 z liczby 1000.

Quiz

Sprawdź, czy rozumiesz logarytmy

Odpowiedz na 8 pytań dotyczących definicji, własności i zmiany podstawy logarytmu.

1. Ile wynosi log⁡232\log_2 32?

2. Który zapis jest równoważny z log⁡381=4\log_3 81=4?

3. Które warunki muszą być spełnione dla logarytmu?

4. Uprość log⁡2(8⋅4)\log_2(8\cdot4).

5. Ile wynosi log⁡5253\log_5 25^3?

6. Który wzór jest wzorem na zmianę podstawy logarytmu?

7. Co oznacza zapis log⁡x\log x bez podanej podstawy?

8. Ile wynosi log⁡319\log_3 \frac{1}{9}?