Rachunek prawdopodobieństwa

Zdarzenia losowe, prawdopodobieństwo klasyczne, zdarzenie przeciwne i działania na zdarzeniach.

Przejdź do zadań Przejdź do quizu Zagraj w dziale Gry

Zdarzenia losowe

Prawdopodobieństwo opisuje, jak bardzo możliwe jest zajście danego zdarzenia.

Suma zdarzeń

A ∪ B — zachodzi A lub B, albo oba zdarzenia jednocześnie

Przecięcie zdarzeń

A ∩ B — zachodzą jednocześnie zdarzenia A i B

A bez B

A ∖ B — zachodzi A, ale nie zachodzi B

B bez A

B ∖ A — zachodzi B, ale nie zachodzi A

Przejdź do quizu

Przestrzeń zdarzeń

Definicja

Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przestrzeń zdarzeń elementarnych oznaczamy zwykle przez $\Omega$ . Zawiera wszystkie możliwe wyniki doświadczenia losowego.

Definicja

Zdarzenie losowe

Zdarzenie losowe to podzbiór przestrzeni $\Omega$ .

Przykłady

Rzut kostką

\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}

A=\{2,4,6\}\quad \text{liczba parzysta}

Rzut monetą

\Omega=\{O,R\}

P(O)=\frac{1}{2}

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Wzór

Prawdopodobieństwo Laplace'a

P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}

Wzór działa, gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne.

Przykłady

Wyrzucenie liczby parzystej na kostce

A=\{2,4,6\},\quad \Omega=\{1,2,3,4,5,6\}

P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}

Wylosowanie asa z talii 52 kart

|A|=4,\quad |\Omega|=52

P(A)=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}

Zdarzenie przeciwne

Wzór

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego

P(A')=1-P(A)

Zdarzenie przeciwne oznacza, że zdarzenie $A$ nie zachodzi.

Przykłady

Nie wyrzucimy szóstki

P(6)=\frac{1}{6}

P(\text{nie }6)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}

Suma zdarzeń

Wzór

Suma dwóch zdarzeń

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

Odejmujemy część wspólną, żeby nie policzyć jej dwa razy.

Przykłady

Kostka: liczba parzysta lub większa od 4

A=\{2,4,6\},\quad B=\{5,6\},\quad A\cap B=\{6\}

P(A\cup B)=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}

Prawdopodobieństwo z drzewka

Zasada

Mnożenie na gałęziach

Gdy zdarzenie składa się z kilku kolejnych etapów, mnożymy prawdopodobieństwa na wybranej ścieżce.

Drzewko prawdopodobieństwa

Dwa rzuty uczciwą monetą. Na każdej gałęzi prawdopodobieństwo wynosi 1/2.

Przykłady

Dwa rzuty monetą

P(OO)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}

P(OO)=\frac{1}{4}

Dwie szóstki w dwóch rzutach kostką

P(6,6)=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}

P(6,6)=\frac{1}{36}

Trening zadań