Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Kombinatoryka

Reguła mnożenia i dodawania, silnia, permutacje, wariacje i kombinacje.

Przejdź do zadańPrzejdź do quizuZagraj w dziale Gry

Kombinatoryka

Liczenie możliwości

Kombinatoryka odpowiada na pytania typu: ile jest sposobów wyboru, ustawienia albo utworzenia kodu.

Drzewko możliwości

Budujemy dwuznakowy kod: najpierw wybieramy literę A lub B, a potem cyfrę 1 lub 2.

Drzewko czterech możliwościZe startu wybieramy literę A lub B, a następnie cyfrę 1 lub 2. Otrzymujemy kody A1, A2, B1 i B2.STARTPIERWSZY ZNAKGOTOWY KOD1212startABA1A2B1B22 · 2 = 4 możliwości
Przejdź do quizu

Reguła mnożenia i dodawania

Twierdzenie

Reguła mnożenia

Jeżeli pierwszy wybór można wykonać na mm sposobów, a drugi na nn sposobów, to oba wybory razem można wykonać na m⋅nm\cdot n sposobów.

Twierdzenie

Reguła dodawania

Jeśli wybieramy jedną z rozłącznych możliwości, to liczby sposobów dodajemy.

Przykłady

Kod dwuznakowy

3 litery i 4 cyfry3\ \text{litery i}\ 4\ \text{cyfry}
3⋅4=123\cdot4=12

Wybór jednego deseru

5 ciast albo 3 lody5\ \text{ciast albo}\ 3\ \text{lody}
5+3=85+3=8

Silnia i permutacje

Wzór

Silnia

n!=1⋅2⋅3⋅…⋅nn!=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot n
0!=10!=1

Wzór

Permutacje bez powtórzeń

Pn=n!P_n=n!

Permutacje liczą, na ile sposobów można ustawić wszystkie elementy.

Przykłady
4!=1⋅2⋅3⋅4=244!=1\cdot2\cdot3\cdot4=24

Ustawienie 5 osób w kolejce

P5=5!=120P_5=5!=120

Wariacje bez powtórzeń

Wzór

Wariacje bez powtórzeń

Vnk=n!(n−k)!V_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}

Wariacje stosujemy, gdy wybieramy kk elementów z nn i kolejność ma znaczenie.

Przykłady

Miejsca 1, 2, 3 dla 8 zawodników

V83=8!5!=8⋅7⋅6=336V_8^3=\frac{8!}{5!}=8\cdot7\cdot6=336

Kombinacje

Wzór

Kombinacje bez powtórzeń

Cnk=(nk)=n!k!(n−k)!C_n^k=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Kombinacje stosujemy, gdy wybieramy kk elementów z nn i kolejność nie ma znaczenia.

Przykłady

Wybór 3 osób z 8

(83)=8!3!⋅5!=56\binom{8}{3}=\frac{8!}{3!\cdot5!}=56

Wybór 2 smaków z 5

(52)=10\binom{5}{2}=10

Trening zadań

Kombinatoryka — zadania

Wybierz poziom, rozwiąż zadanie samodzielnie, a później sprawdź odpowiedź lub pełne rozwiązanie.

Poziom: łatwy
Trudność
Wygenerowanełatwy

Reguła mnożenia

Do wyboru są 5 koszulki, 2 pary spodni i 3 pary butów. Ile różnych strojów można utworzyć?

Quiz

Sprawdź kombinatorykę

1. Kod składa się z jednej z 4 liter i jednej z 5 cyfr. Ile jest kodów?

2. Ile wynosi 5!5!?

3. Na ile sposobów można ustawić 4 różne książki na półce?

4. Wybieramy 2 osoby z 6, kolejność nie ma znaczenia. Używamy:

5. Wybieramy podium: 1., 2. i 3. miejsce spośród 7 osób. Kolejność ma znaczenie, więc: