Przekształcenia wykresów funkcji

Wektory w układzie współrzędnych, przesunięcia, symetrie, wartość bezwzględna, powinowactwa i składanie przekształceń wykresów.

Zagraj w dziale Gry

Wektory i współrzędne

Podstawowe informacje o wektorze w układzie współrzędnych

Definicja

Współrzędne wektora

Jeśli $A=(x_1,y_1)$ i $B=(x_2,y_2)$ , to wektor prowadzący od punktu $A$ do punktu $B$ ma współrzędne:

\overrightarrow{AB}=[x_2-x_1,\ y_2-y_1]

Pierwsza współrzędna opisuje zmianę w poziomie, a druga — zmianę w pionie.

Współrzędne wektora jako zmiana położenia

Przykład

Wektor wyznaczony przez dwa punkty

Dla $A=(-3,2)$ i $B=(4,-2)$ :

\overrightarrow{AB}=[4-(-3),\ -2-2]=[7,-4]

Definicja

Wektory równe, zerowy i przeciwny

Wektory $\vec u=[u_x,u_y]$ i $\vec v=[v_x,v_y]$ są równe, gdy mają równe odpowiednie współrzędne.

\vec u=\vec v\quad\Longleftrightarrow\quad u_x=v_x\ \land\ u_y=v_y

Wektor zerowy ma postać $\vec 0=[0,0]$ . Wektorem przeciwnym do $\vec u$ jest $-\vec u=[-u_x,-u_y]$ .

Wzory

Działania na wektorach

[u_x,u_y]+[v_x,v_y]=[u_x+v_x,\ u_y+v_y]

[u_x,u_y]-[v_x,v_y]=[u_x-v_x,\ u_y-v_y]

k[u_x,u_y]=[ku_x,\ ku_y]

Dodawanie wektorów metodą trójkąta

Przykład

Suma, różnica i mnożenie przez liczbę

Niech $\vec u=[3,-2]$ oraz $\vec v=[-1,5]$ .

\vec u+\vec v=[2,3]

\vec u-\vec v=[4,-7]

-2\vec u=[-6,4]

Definicja

Długość i równoległość wektorów

|\vec u|=\sqrt{u_x^2+u_y^2}

Niezerowe wektory są równoległe, jeśli jeden jest wielokrotnością drugiego: $\vec u=k\vec v$ . Dla $k>0$ mają ten sam zwrot, a dla $k<0$ — zwroty przeciwne.

Przykład

Długość wektora

\vec a=[-5,12]

|\vec a|=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{169}=13

Przykład

Wektory równoległe o przeciwnych zwrotach

[ -4,6]=-2[2,-3]

Wektory są równoległe, a ponieważ mnożnik jest ujemny, mają przeciwne zwroty.

Translacja

Przesunięcie równoległe o wektor

Definicja

Przesunięcie punktu

W przesunięciu o wektor $\vec u=[p,q]$ punkt $A=(x,y)$ przechodzi na punkt:

A'=(x+p,\ y+q)

Twierdzenie

Przesunięcie wykresu funkcji

Wykres funkcji $y=f(x-p)+q$ otrzymujemy z wykresu $y=f(x)$ przez przesunięcie o wektor $[p,q]$ .

y=f(x)\quad\xrightarrow{\ [p,q]\ }\quad y=f(x-p)+q

Przesunięcie wykresu o wektor

Najczęstsza pułapka ze znakiem

Zmiana poza nawiasem działa zgodnie ze znakiem: $f(x)+q$ przesuwa wykres w górę dla $q>0$ . Wewnątrz argumentu znak jest przeciwny: $f(x-p)$ przesuwa wykres w prawo dla $p>0$ .

Przykład

Przesunięcie paraboli

Wykres $f(x)=x^2$ przesuwamy o wektor $[-2,3]$ .

g(x)=f(x+2)+3=(x+2)^2+3

Wierzchołek przechodzi z $(0,0)$ do $(-2,3)$ .

Przykład

Przesunięcie wykresu pierwiastka

Dla $f(x)=\sqrt{x}$ i wektora $[4,-1]$ :

g(x)=\sqrt{x-4}-1,\qquad D_g=[4,+\infty)

Odbicia osiowe

Symetria osiowa względem osi OX i osi OY

Twierdzenie

Symetria względem osi OX

(x,y)\mapsto(x,-y)

y=f(x)\quad\longmapsto\quad y=-f(x)

Argument pozostaje ten sam, a każda wartość funkcji zmienia znak.

Symetria wykresu względem osi OX

Przykład

Odbicie paraboli względem osi OX

f(x)=x^2-2\quad\Longrightarrow\quad g(x)=-(x^2-2)=-x^2+2

Twierdzenie

Symetria względem osi OY

(x,y)\mapsto(-x,y)

y=f(x)\quad\longmapsto\quad y=f(-x)

Wartość pozostaje ta sama, a argument zmienia znak.

Symetria wykresu względem osi OY

Przykład

Odbicie wykresu pierwiastka względem osi OY

f(x)=\sqrt{x}\quad\Longrightarrow\quad h(x)=f(-x)=\sqrt{-x}

D_h=(-\infty,0]

Obrót o 180°

Symetria środkowa względem punktu (0, 0)

Twierdzenie

Obraz punktu i wykresu

(x,y)\mapsto(-x,-y)

y=f(x)\quad\longmapsto\quad y=-f(-x)

To przekształcenie można otrzymać przez wykonanie obu symetrii osiowych — względem $OX$ i $OY$ .

Symetria środkowa względem punktu O(0, 0)

Przykład

Symetria środkowa prostej

f(x)=2x-3

g(x)=-f(-x)=-(-2x-3)=2x+3