Funkcja i jej własności

Pojęcie funkcji, dziedzina, zbiór wartości, wykres, miejsca zerowe, monotoniczność i pozostałe własności funkcji.

Podstawowe pojęcia

Pojęcie funkcji i funkcja liczbowa

Definicja

Funkcja

Funkcja $f:X\to Y$ to przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru $X$ odpowiada dokładnie jeden element zbioru $Y$ .

x\in X\quad\longmapsto\quad f(x)\in Y

Ten sam wynik może odpowiadać kilku argumentom. Niedozwolona jest inna sytuacja: jeden argument nie może mieć dwóch różnych wartości.

Każdy argument ma dokładnie jedną wartość

Przykład

Funkcja liczbowa

Niech $X=\{1,2,3\}$ oraz $f(x)=3x+1$ . Wtedy:

f(1)=4,\qquad f(2)=7,\qquad f(3)=10

Argumenty i wartości są liczbami, więc jest to funkcja liczbowa.

Przyporządkowanie, które nie jest funkcją

Definicja

Dziedzina, przeciwdziedzina i zbiór wartości

Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich dozwolonych liczb (argumentów $x$ ), które możemy podstawić do wzoru funkcji. Krótko mówiąc, są to wszystkie „wejścia”, dla których funkcja ma sens i nie daje błędnych wyników.

Przeciwdziedzina to zbiór $Y$ , w którym szukamy wartości funkcji.

Zbiór wartości zawiera tylko te elementy przeciwdziedziny, które funkcja rzeczywiście przyjmuje:

ZW_f=\{f(x):x\in D_f\}

Warto zapamiętać

Zbiór wartości jest podzbiorem przeciwdziedziny i nie zawsze jest z nią równy.

Opis funkcji

Sposoby opisywania funkcji

Podsumowanie

Sześć najczęstszych sposobów

opis słowny,
tabela wartości,
graf przyporządkowania,
zbiór par uporządkowanych,
wzór,
wykres w układzie współrzędnych.

Ta sama funkcja opisana tabelą i wykresem

Przykład

Jedna funkcja zapisana na różne sposoby

Zdanie „każdej liczbie ze zbioru $\{-2,-1,0,2\}$ przyporządkowujemy jej kwadrat” można zapisać wzorem $f(x)=x^2$ albo jako zbiór par:

\{(-2,4),(-1,1),(0,0),(2,4)\}

Układ współrzędnych

Wykres funkcji

Definicja

Wykres funkcji liczbowej

Wykres funkcji $f$ jest zbiorem wszystkich punktów o współrzędnych $(x,f(x))$ , gdzie $x\in D_f$ .

W_f=\{(x,f(x)):x\in D_f\}

Zasada

Jak rozpoznać wykres funkcji?

Każda prosta pionowa może mieć z wykresem najwyżej jeden punkt wspólny. Dwa punkty na tej samej pionowej oznaczałyby dwie wartości dla jednego argumentu.

Test pionowej prostej

Dozwolone argumenty

Dziedzina funkcji liczbowej

Definicja

Dziedzina funkcji opisanej wzorem

Jeżeli podano tylko wzór, dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których działania zapisane we wzorze można wykonać.

Zasada

Najważniejsze ograniczenia

mianownik ułamka nie może być równy zero,
wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być nieujemne,
jeśli taki pierwiastek znajduje się w mianowniku, wyrażenie pod nim musi być dodatnie.

Przykład

Pierwiastek parzystego stopnia

f(x)=\sqrt{7-2x}

7-2x\ge 0\quad\Longrightarrow\quad x\le\frac72

D_f=\left(-\infty,\frac72\right]

Przykład

Mianownik różny od zera

g(x)=\frac{x+1}{x^2-9}

x^2-9\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne-3\ \text{i}\ x\ne3

D_g=\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}

Przykład

Pierwiastek w mianowniku

h(x)=\frac{1}{\sqrt{x-4}}

x-4>0\quad\Longrightarrow\quad D_h=(4,+\infty)

Możliwe wyniki

Zbiór wartości funkcji liczbowej

Definicja

Zbiór wartości

To zbiór wszystkich liczb, które otrzymujemy jako wartości funkcji dla argumentów z jej dziedziny.

Z wykresu odczytujemy go, patrząc, jakie poziomy na osi $OY$ osiąga wykres.

Dziedzina i zbiór wartości z wykresu

Przykład

Zbiór wartości funkcji o skończonej dziedzinie

Dla $D_f=\{-2,0,3\}$ i $f(x)=x^2-1$ mamy:

f(-2)=3,\qquad f(0)=-1,\qquad f(3)=8

ZW_f=\{-1,3,8\}

Przecięcie z osią OX

Miejsce zerowe funkcji

Definicja

Miejsce zerowe

Miejscem zerowym funkcji jest taki argument $x_0\in D_f$ , dla którego wartość funkcji wynosi zero.

f(x_0)=0

Zasada

Dwa sposoby wyznaczania

Ze wzoru rozwiązujemy równanie $f(x)=0$ i sprawdzamy dziedzinę. Z wykresu odczytujemy pierwsze współrzędne punktów wspólnych wykresu z osią $OX$ .

Przykład

Dwa miejsca zerowe

f(x)=|x-2|-4

|x-2|=4\quad\Longrightarrow\quad x-2=4\ \text{lub}\ x-2=-4

x=6\quad\text{lub}\quad x=-2

Kierunek zmian

Monotoniczność funkcji

Definicja

Funkcja rosnąca, malejąca i stała w zbiorze A

Dla dowolnych $x_1,x_2\in A$ takich, że $x_1<x_2$ :

f\ \text{rosnąca:}\quad f(x_1)<f(x_2)

f\ \text{malejąca:}\quad f(x_1)>f(x_2)

f\ \text{stała:}\quad f(x_1)=f(x_2)

Rosnąca, stała i malejąca część wykresu

Ścisła i słaba monotoniczność

Funkcja niemalejąca spełnia $f(x_1)\le f(x_2)$ , a nierosnąca — $f(x_1)\ge f(x_2)$ . Może więc zawierać odcinki stałe.

Przykład

Proste przykłady

$f(x)=3x-1$ jest rosnąca w $\mathbb{R}$ .

$g(x)=-2x+5$ jest malejąca w $\mathbb{R}$ .

$h(x)=4$ jest stała w $\mathbb{R}$ .

Różne argumenty, różne wyniki

Funkcje różnowartościowe

Definicja

Funkcja różnowartościowa

Funkcja jest różnowartościowa, jeżeli różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości.

x_1\ne x_2\quad\Longrightarrow\quad f(x_1)\ne f(x_2)

Równoważnie: jeśli $f(x_1)=f(x_2)$ , to musi zachodzić $x_1=x_2$ .

Zasada

Test poziomej prostej

Funkcja jest różnowartościowa dokładnie wtedy, gdy każda prosta pozioma ma z jej wykresem najwyżej jeden punkt wspólny.

Test poziomej prostej

Przykład

Funkcja różnowartościowa

Funkcja $f(x)=5x+2$ jest różnowartościowa, ponieważ dla $x_1\ne x_2$ również $5x_1+2\ne5x_2+2$ .

Przykład

Funkcja, która nie jest różnowartościowa

Dla $g(x)=x^2$ mamy $g(-3)=g(3)=9$ . Dwa różne argumenty dają tę samą wartość.

Analiza wykresu

Odczytywanie własności funkcji na podstawie wykresu

Zasada

Praktyczna kolejność

odczytaj dziedzinę i zbiór wartości,
znajdź miejsca zerowe,
wskaż, gdzie wartości są dodatnie i ujemne,
podaj przedziały monotoniczności,
sprawdź różnowartościowość.

Wykres do pełnej analizy

Przykład

Odczytanie wszystkich podstawowych własności

D_f=[-4,5),\qquad ZW_f=[-2,2]

f(x)=0\quad\text{dla}\quad x\in\{-3,2,4\}

f(x)>0\quad\text{dla}\quad x\in(-3,2)\cup(4,5)

f(x)<0\quad\text{dla}\quad x\in[-4,-3)\cup(2,4)

Funkcja rośnie na $[-4,-2]$ , jest stała na $[-2,1]$ , maleje na $[1,3]$ i ponownie rośnie na $[3,5)$ .

Nie jest różnowartościowa, bo na odcinku stałym wiele argumentów ma wartość $2$ .

Porównywanie wykresów

Zastosowanie wykresów funkcji do rozwiązywania równań i nierówności

Zasada

Interpretacja graficzna

Rozwiązania równania $f(x)=g(x)$ to argumenty punktów przecięcia wykresów.

Nierówność $f(x)<g(x)$ jest spełniona tam, gdzie wykres funkcji $f$ leży niżej niż wykres funkcji $g$ .

Równanie i nierówność jako porównanie dwóch wykresów

Przykład

Parabola i prosta

Porównujemy $f(x)=x^2-1$ oraz $g(x)=x+1$ .

f(x)=g(x)\quad\Longrightarrow\quad x=-1\ \text{lub}\ x=2

f(x)<g(x)\quad\Longrightarrow\quad x\in(-1,2)

f(x)\ge g(x)\quad\Longrightarrow\quad x\in(-\infty,-1]\cup[2,+\infty)

Modelowanie

Zastosowanie wiadomości o funkcjach

Jak czytać model z życia codziennego?

Zawsze sprawdź, co oznaczają obie osie i ich jednostki. Następnie określ sensowną dziedzinę, odczytaj wartości i zinterpretuj kierunek zmian w kontekście zadania.

Przykład

Koszt przejazdu

Opłata początkowa wynosi 8 zł, a każdy kilometr kosztuje 2,50 zł. Dla długości trasy $d\ge0$ koszt opisuje funkcja:

C(d)=8+2{,}5d

C(12)=8+2{,}5\cdot12=38

W tym modelu argumentem jest liczba kilometrów, a wartością funkcji — cena w złotych.