Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Geometria płaska — pole koła i pole trójkąta

Pole figury, wzory na pole trójkąta, pola trójkątów podobnych, koło, wycinek i zastosowanie pola w dowodach.

Zagraj w dziale Gry

Mierzenie figur

Pole figury geometrycznej

Definicja

Pole figury

Pole jest liczbą opisującą, jak dużą część płaszczyzny zajmuje figura. Wynik podajemy w jednostkach kwadratowych, na przykład cm2\mathrm{cm^2}, m2\mathrm{m^2} lub km2\mathrm{km^2}.

Za jednostkę pola przyjmujemy pole kwadratu o boku długości jednej jednostki.

Własności

Podstawowe własności pola

  • Figury przystające mają równe pola.
  • Jeżeli figurę podzielimy na rozłączne części, jej pole jest sumą pól tych części.
  • Jeżeli z figury usuniemy jej część, pole pozostałej figury jest różnicą odpowiednich pól.
  • Pole kwadratu o boku aa wynosi a2a^2.
Szacowanie pola figury na siatce kwadratowejNieregularna figura została umieszczona na siatce z kwadratów jednostkowych.jedna kratka ma pole 1Pełne kratki liczymy dokładnie, a częściowe pozwalają oszacować wynik.

Przykład

Figura z wycięciem

Z prostokąta o wymiarach 99 na 66 wycięto kwadrat o boku 33.

P=9⋅6−32=54−9=45P=9\cdot6-3^2=54-9=45

Przykład

Zmiana jednostki pola

Ponieważ 1 m=100 cm1\ \mathrm{m}=100\ \mathrm{cm}, po podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymujemy:

1 m2=10 000 cm21\ \mathrm{m^2}=10\,000\ \mathrm{cm^2}

Podstawa i wysokość

Pole trójkąta

Twierdzenie

Pole z podstawy i wysokości

Pole trójkąta jest równe połowie iloczynu długości wybranego boku i wysokości opuszczonej na ten bok.

P=12ahaP=\frac12a h_a
Podstawa i wysokość trójkątaTrójkąt ABC ma podstawę AB długości a oraz wysokość h opuszczoną z wierzchołka C.ABCDahₐ

Zależność

Trójkąty o tej samej wysokości

Jeżeli dwa trójkąty mają tę samą wysokość, stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości odpowiadających podstaw.

P1P2=a1a2\frac{P_1}{P_2}=\frac{a_1}{a_2}

Analogicznie, przy tej samej podstawie stosunek pól jest równy stosunkowi wysokości.

Warto zapamiętać

Wysokość może wypaść poza trójkątem. Wtedy opuszczamy ją na prostą zawierającą wybrany bok, a niekoniecznie na sam odcinek.

Przykład

Pole z podstawy i wysokości

Podstawa ma długość 1313, a odpowiadająca jej wysokość 88.

P=12⋅13⋅8=52P=\frac12\cdot13\cdot8=52

Przykład

Dwa trójkąty o wspólnej wysokości

Podstawy są w stosunku 3:53:5. Jeżeli mniejszy trójkąt ma pole 2424, to:

24P2=35⟹P2=40\frac{24}{P_2}=\frac35\quad\Longrightarrow\quad P_2=40

Różne dane o trójkącie

Wzory na pole trójkąta

Twierdzenie

Dwa boki i kąt między nimi

Jeżeli znamy długości dwóch boków aa i bb oraz miarę kąta γ\gamma między nimi, to:

P=12absin⁡γP=\frac12ab\sin\gamma
Pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimiBoki a i b spotykają się pod kątem gamma.γABCab

Wzory

Okrąg wpisany i opisany

Dla promienia okręgu wpisanego rr i połowy obwodu pp:

P=pr,p=a+b+c2P=pr,\qquad p=\frac{a+b+c}{2}

Dla promienia okręgu opisanego RR:

P=abc4RP=\frac{abc}{4R}
Promień okręgu wpisanego i opisanegoU góry pokazano okrąg wpisany o promieniu r, a u dołu okrąg opisany o promieniu R.okrąg wpisanyIrokrąg opisanyOR

Twierdzenie

Wzór Herona

Jeżeli znamy trzy boki trójkąta, jego pole możemy obliczyć bez wyznaczania wysokości.

P=p(p−a)(p−b)(p−c)P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
p=a+b+c2p=\frac{a+b+c}{2}

Przykład

Pole z dwóch boków i kąta

Dwa boki mają długości 1010 i 77, a kąt między nimi ma 30∘30^\circ.

P=12⋅10⋅7⋅sin⁡30∘=352P=\frac12\cdot10\cdot7\cdot\sin30^\circ=\frac{35}{2}

Przykład

Pole z promienia okręgu wpisanego

Połowa obwodu wynosi 1818, a promień okręgu wpisanego 44.

P=18⋅4=72P=18\cdot4=72

Przykład

Wzór Herona dla boków 5, 5 i 6

p=5+5+62=8p=\frac{5+5+6}{2}=8
P=8⋅3⋅3⋅2=12P=\sqrt{8\cdot3\cdot3\cdot2}=12

Podobieństwo

Pola trójkątów podobnych

Twierdzenie

Pole a skala podobieństwa

Jeżeli trójkąty są podobne w skali kk, stosunek ich pól jest równy kwadratowi tej skali.

P2P1=k2\frac{P_2}{P_1}=k^2
Pola trójkątów podobnychDwa podobne trójkąty pokazano osobno; długości drugiego są k razy większe.trójkąt wyjściowyaP₁skala podobieństwa kkaP₂

Warto zapamiętać

Długości zmieniają się kk razy, pola k2k^2 razy, a objętości brył podobnych — k3k^3 razy.

Przykład

Pole większego trójkąta

Skala podobieństwa większego trójkąta do mniejszego wynosi 32\frac32, a pole mniejszego jest równe 2424.

P2=24(32)2=24⋅94=54P_2=24\left(\frac32\right)^2=24\cdot\frac94=54

Koło

Pole koła i wycinka koła

Twierdzenie

Pole koła

P=πr2P=\pi r^2

Promień rr musi być podany w tej samej jednostce długości, z której ma wynikać jednostka pola.

Wzór

Pierścień kołowy

Pierścień powstaje przez usunięcie mniejszego koła z większego koła o tym samym środku.

P=πR2−πr2=π(R2−r2)P=\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2)
Pierścień kołowyPierścień kołowy ma wspólny środek O oraz promienie zewnętrzny R i wewnętrzny r.ORr

Przykład

Pole pierścienia

Promienie mają długości 77 i 44.

P=π(72−42)=π(49−16)=33πP=\pi(7^2-4^2)=\pi(49-16)=33\pi

Wzory

Wycinek koła i odpowiadający mu łuk

Wycinek o kącie środkowym α\alpha stanowi część całego koła równą α360∘\frac{\alpha}{360^\circ}.

Pwycinka=α360∘πr2P_{\text{wycinka}}=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi r^2
lłuku=α360∘⋅2πrl_{\text{łuku}}=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi r
Wycinek kołaWycinek koła ma promień r i kąt środkowy alfa.αOr

Przykład

Wycinek i łuk

Promień ma długość 99, a kąt środkowy 80∘80^\circ.

P=80∘360∘⋅81π=18πP=\frac{80^\circ}{360^\circ}\cdot81\pi=18\pi
l=80∘360∘⋅18π=4πl=\frac{80^\circ}{360^\circ}\cdot18\pi=4\pi