Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Trygonometria

Funkcje trygonometryczne kąta, wartości szczególne, tożsamości, wzory redukcyjne oraz twierdzenia sinusów i cosinusów.

Zagraj w dziale Gry

Trójkąt prostokątny

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

Definicja

Sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta ostrego

Wybieramy kąt ostry α\alpha. Jedna przyprostokątna leży naprzeciw niego, a druga jest do niego przyległa.

sin⁡α=przyprostokątna naprzeciw αprzeciwprostokątna\sin\alpha=\frac{\text{przyprostokątna naprzeciw }\alpha}{\text{przeciwprostokątna}}
cos⁡α=przyprostokątna przyległa do αprzeciwprostokątna\cos\alpha=\frac{\text{przyprostokątna przyległa do }\alpha}{\text{przeciwprostokątna}}
tg⁡α=przyprostokątna naprzeciw αprzyprostokątna przyległa do α\operatorname{tg}\alpha=\frac{\text{przyprostokątna naprzeciw }\alpha}{\text{przyprostokątna przyległa do }\alpha}
ctg⁡α=przyprostokątna przyległa do αprzyprostokątna naprzeciw α\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\text{przyprostokątna przyległa do }\alpha}{\text{przyprostokątna naprzeciw }\alpha}

Warto zapamiętać

Najpierw zaznacz kąt, którego dotyczy zadanie. Ten sam bok może być przyległy do jednego kąta i leżeć naprzeciw drugiego.

tg⁡α=sin⁡αcos⁡α,ctg⁡α=cos⁡αsin⁡α\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad \operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}
Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnymTrójkąt prostokątny z zaznaczonym kątem alfa oraz bokami leżącym naprzeciw kąta, przyległym do kąta i przeciwprostokątną.αACBbok przyległybok naprzeciwprzeciwprostokątnaNazwy przyprostokątnych zawsze odnosimy do wybranego kąta α.

Przykład

Wszystkie cztery wartości z jednego trójkąta

Przyprostokątne mają długości 99 i 1212, a przeciwprostokątna 1515. Dla kąta leżącego naprzeciw boku długości 99:

sin⁡α=915=35,cos⁡α=1215=45\sin\alpha=\frac9{15}=\frac35,\quad \cos\alpha=\frac{12}{15}=\frac45
tg⁡α=912=34,ctg⁡α=43\operatorname{tg}\alpha=\frac9{12}=\frac34,\quad \operatorname{ctg}\alpha=\frac43

Przykład

Wyznaczanie długości boku

Przeciwprostokątna ma długość 1010, a sin⁡α=35\sin\alpha=\frac35. Przyprostokątna naprzeciw kąta α\alpha ma długość xx.

x10=35⟹x=6\frac{x}{10}=\frac35\quad\Longrightarrow\quad x=6

Kąty szczególne

Wartości dla kątów 30°, 45° i 60°

Tabela wartości

Wartości dokładne

Wartości otrzymujemy z trójkąta prostokątnego równoramiennego oraz z połowy trójkąta równobocznego. Dzięki temu nie trzeba ich przybliżać kalkulatorem.

Funkcja30∘30^\circ45∘45^\circ60∘60^\circ
sin⁡α\sin\alpha12\frac1222\frac{\sqrt2}{2}32\frac{\sqrt3}{2}
cos⁡α\cos\alpha32\frac{\sqrt3}{2}22\frac{\sqrt2}{2}12\frac12
tg⁡α\operatorname{tg}\alpha33\frac{\sqrt3}{3}113\sqrt3
ctg⁡α\operatorname{ctg}\alpha3\sqrt31133\frac{\sqrt3}{3}

Przykład

Proste obliczenie bez kalkulatora

2sin⁡30∘+cos⁡60∘2\sin30^\circ+\cos60^\circ
=2⋅12+12=32=2\cdot\frac12+\frac12=\frac32

Przykład

Długość w trójkącie 30°–60°–90°

Jeżeli przyprostokątna naprzeciw kąta 30∘30^\circ ma długość 55, to przeciwprostokątna cc spełnia:

sin⁡30∘=5c⟹12=5c⟹c=10\sin30^\circ=\frac5c\quad\Longrightarrow\quad \frac12=\frac5c\quad\Longrightarrow\quad c=10

Zwrot obrotu

Kąt skierowany

Definicja

Kąt skierowany

Kąt skierowany tworzą uporządkowane dwa ramiona: początkowe i końcowe. Jego miara opisuje nie tylko wielkość obrotu, lecz także jego kierunek.

  • Obrót przeciwny do ruchu wskazówek zegara ma miarę dodatnią.
  • Obrót zgodny z ruchem wskazówek zegara ma miarę ujemną.

Zależność

Kąty o tych samych ramionach

Pełny obrót ma 360∘360^\circ. Dlatego kąty różniące się o całkowitą wielokrotność pełnego obrotu mają takie samo ramię końcowe.

α+360∘k,k∈Z\alpha+360^\circ k,\qquad k\in\mathbb Z
Dodatni i ujemny kąt skierowanyPierwszy rysunek pokazuje zwrot przeciwny do ruchu wskazówek zegara, a drugi zwrot zgodny z ruchem wskazówek zegara.kąt dodatniO+αkąt ujemnyO−αRamię początkowe jest czarne, a ramię końcowe — niebieskie.

Przykład

Kąt ujemny w postaci dodatniej

−140∘+360∘=220∘-140^\circ+360^\circ=220^\circ

Kąty −140∘-140^\circ i 220∘220^\circ mają to samo ramię końcowe.

Przykład

Więcej niż jeden pełny obrót

765∘−2⋅360∘=45∘765^\circ-2\cdot360^\circ=45^\circ

Kąt 765∘765^\circ kończy się więc tak samo jak kąt 45∘45^\circ.

Dowolny kąt

Funkcje trygonometryczne kąta dowolnego

Definicja

Definicje za pomocą współrzędnych punktu

Niech punkt P(x,y)P(x,y) leży na ramieniu końcowym kąta α\alpha, a r=x2+y2r=\sqrt{x^2+y^2} oznacza jego odległość od początku układu.

sin⁡α=yr,cos⁡α=xr\sin\alpha=\frac yr,\qquad \cos\alpha=\frac xr
tg⁡α=yx (x≠0),ctg⁡α=xy (y≠0)\operatorname{tg}\alpha=\frac yx\ (x\ne0),\qquad \operatorname{ctg}\alpha=\frac xy\ (y\ne0)

Wartość zależy wyłącznie od kąta, a nie od tego, jak daleko od początku układu wybierzemy punkt PP.

Definicje funkcji trygonometrycznych kąta dowolnegoPunkt P o współrzędnych x i y leży na ramieniu końcowym kąta alfa w odległości r od początku układu.xyαrxyOP(x, y)sin α = y / rcos α = x / rtg α = y / xctg α = x / yr = √(x² + y²), więc r jest zawsze dodatnie.

Zależność

Znaki w ćwiartkach

Znak sinusa wynika ze znaku współrzędnej yy, znak cosinusa — ze znaku xx. Tangens i cotangens są dodatnie, gdy xx i yy mają ten sam znak.

Ćwiartkasincostgctg
I++++
II+−−−
III−−++
IV−+−−

Dziedzina i zakres wartości

  • −1≤sin⁡α≤1-1\le\sin\alpha\le1 oraz −1≤cos⁡α≤1-1\le\cos\alpha\le1.
  • Tangens nie istnieje, gdy cos⁡α=0\cos\alpha=0, czyli między innymi dla 90∘90^\circ i 270∘270^\circ.
  • Cotangens nie istnieje, gdy sin⁡α=0\sin\alpha=0, czyli między innymi dla 0∘0^\circ i 180∘180^\circ.

Przykład

Punkt na ramieniu końcowym kąta

Niech P=(−5,12)P=(-5,12). Wtedy r=(−5)2+122=13r=\sqrt{(-5)^2+12^2}=13. Punkt leży w II ćwiartce.

sin⁡α=1213,cos⁡α=−513\sin\alpha=\frac{12}{13},\quad \cos\alpha=-\frac5{13}
tg⁡α=−125,ctg⁡α=−512\operatorname{tg}\alpha=-\frac{12}{5},\quad \operatorname{ctg}\alpha=-\frac5{12}

Przekształcanie wyrażeń

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Definicja

Tożsamość trygonometryczna

To równość zawierająca funkcje trygonometryczne, prawdziwa dla wszystkich kątów, dla których obie jej strony są określone.

Twierdzenie

Jedynka trygonometryczna

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

Równość wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do współrzędnych x,yx,y i promienia rr.

Twierdzenie

Zależności z tangensem i cotangensem

tg⁡α=sin⁡αcos⁡α,ctg⁡α=cos⁡αsin⁡α\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad \operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}
tg⁡α⋅ctg⁡α=1\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1
1+tg⁡2α=1cos⁡2α,1+ctg⁡2α=1sin⁡2α1+\operatorname{tg}^2\alpha=\frac1{\cos^2\alpha},\qquad 1+\operatorname{ctg}^2\alpha=\frac1{\sin^2\alpha}

Przykład

Od sinusa do pozostałych funkcji

Dany jest kąt ostry α\alpha i sin⁡α=513\sin\alpha=\frac5{13}. Cosinus jest dodatni, więc:

cos⁡α=1−25169=1213\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}
tg⁡α=512,ctg⁡α=125\operatorname{tg}\alpha=\frac5{12},\qquad \operatorname{ctg}\alpha=\frac{12}{5}

Przykład

Uproszczenie wyrażenia

1−sin⁡2αcos⁡2α\frac{1-\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}

Ponieważ 1−sin⁡2α=cos⁡2α1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha, otrzymujemy:

cos⁡2αcos⁡2α=1\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=1

Sprowadzanie do kąta ostrego

Wzory redukcyjne

Wzory

Najważniejsze wzory redukcyjne

sin⁡(90∘−α)=cos⁡α,cos⁡(90∘−α)=sin⁡α\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha,\qquad \cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha
tg⁡(90∘−α)=ctg⁡α,ctg⁡(90∘−α)=tg⁡α\operatorname{tg}(90^\circ-\alpha)=\operatorname{ctg}\alpha,\qquad \operatorname{ctg}(90^\circ-\alpha)=\operatorname{tg}\alpha
sin⁡(180∘−α)=sin⁡α,cos⁡(180∘−α)=−cos⁡α\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha,\qquad \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha
sin⁡(180∘+α)=−sin⁡α,cos⁡(180∘+α)=−cos⁡α\sin(180^\circ+\alpha)=-\sin\alpha,\qquad \cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha
sin⁡(360∘−α)=−sin⁡α,cos⁡(360∘−α)=cos⁡α\sin(360^\circ-\alpha)=-\sin\alpha,\qquad \cos(360^\circ-\alpha)=\cos\alpha

Jak zapamiętać wzory

  • Przy 90∘±α90^\circ\pm\alpha funkcja zmienia się na dopełniającą: sinus na cosinus, a tangens na cotangens i odwrotnie.
  • Przy 180∘±α180^\circ\pm\alpha oraz 360∘−α360^\circ-\alpha nazwa funkcji pozostaje bez zmiany.
  • Znak dobieramy na podstawie ćwiartki, w której leży ramię końcowe kąta.

Zależność

Okresowość

sin⁡(α+360∘k)=sin⁡α,cos⁡(α+360∘k)=cos⁡α\sin(\alpha+360^\circ k)=\sin\alpha,\qquad \cos(\alpha+360^\circ k)=\cos\alpha
tg⁡(α+180∘k)=tg⁡α,ctg⁡(α+180∘k)=ctg⁡α\operatorname{tg}(\alpha+180^\circ k)=\operatorname{tg}\alpha,\qquad \operatorname{ctg}(\alpha+180^\circ k)=\operatorname{ctg}\alpha

We wszystkich wzorach k∈Zk\in\mathbb Z.

Przykład

Sinus 150°

sin⁡150∘=sin⁡(180∘−30∘)=12\sin150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)=\frac12

Przykład

Cosinus 225°

cos⁡225∘=cos⁡(180∘+45∘)=−22\cos225^\circ=\cos(180^\circ+45^\circ)=-\frac{\sqrt2}{2}

Przykład

Tangens 135°

tg⁡135∘=tg⁡(180∘−45∘)=−1\operatorname{tg}135^\circ=\operatorname{tg}(180^\circ-45^\circ)=-1