Geometria płaska — trójkąty

Rodzaje trójkątów, twierdzenie Pitagorasa, szczególne odcinki, okręgi, przystawanie i podobieństwo.

Podstawy

Trójkąt i jego rodzaje

Definicja

Trójkąt

Trójkąt jest wielokątem o trzech bokach. Jeśli jego wierzchołki oznaczymy przez $A$ , $B$ i $C$ , to bok leżący naprzeciw wierzchołka $A$ zwykle oznaczamy literą $a$ , a analogicznie pozostałe boki literami $b$ i $c$ .

Suma długości trzech boków jest obwodem trójkąta.

Definicja

Podział ze względu na kąty

Trójkąt ostrokątny ma trzy kąty ostre.
Trójkąt prostokątny ma jeden kąt prosty; boki przy tym kącie są przyprostokątnymi, a bok naprzeciw niego — przeciwprostokątną.
Trójkąt rozwartokątny ma jeden kąt rozwarty.

Definicja

Podział ze względu na boki

Trójkąt różnoboczny ma wszystkie boki różnej długości.
Trójkąt równoramienny ma co najmniej dwa równe boki, nazywane ramionami.
Trójkąt równoboczny ma trzy równe boki, a każdy jego kąt ma $60^\circ$ .

Zależność

Boki i kąty leżące naprzeciw siebie

Naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok i odwrotnie: naprzeciw dłuższego boku znajduje się większy kąt.

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.

Przykład

Dwa możliwe trójkąty równoramienne

Jeden z kątów trójkąta równoramiennego ma $40^\circ$ .

Jeżeli jest to kąt między ramionami, pozostałe kąty mają po $70^\circ$ . Jeżeli jest to kąt przy podstawie, kąty mają miary $40^\circ,40^\circ,100^\circ$ .

Kąty i boki

Suma kątów i nierówność trójkąta

Twierdzenie

Suma kątów wewnętrznych trójkąta

Suma miar kątów wewnętrznych każdego trójkąta wynosi $180^\circ$ .

\alpha+\beta+\gamma=180^\circ

Twierdzenie

Nierówność trójkąta

Długość każdego boku jest mniejsza od sumy długości dwóch pozostałych boków i większa od wartości bezwzględnej ich różnicy.

|b-c|<a<b+c

Analogiczne nierówności zapisujemy dla boków $b$ i $c$ .

Warto zapamiętać

Jeżeli znamy najdłuższy z trzech odcinków, do sprawdzenia, czy można zbudować trójkąt, wystarczy porównać go z sumą dwóch krótszych.

Przykład

Brakujący kąt

Dwa kąty mają $48^\circ$ i $67^\circ$ . Trzeci kąt ma:

180^\circ-48^\circ-67^\circ=65^\circ

Przykład

Zakres długości boku

Dwa boki mają długości $6$ i $10$ . Długość trzeciego boku $x$ spełnia:

|10-6|<x<10+6

4<x<16

Odcinki w trójkącie

Odcinek łączący środki dwóch boków

Definicja

Odcinek środkowy trójkąta

Odcinek środkowy łączy środki dwóch boków trójkąta.

Twierdzenie

Własności odcinka środkowego

Odcinek łączący środki dwóch boków jest równoległy do trzeciego boku i ma długość równą połowie jego długości.

DE\parallel AB,\qquad |DE|=\frac12|AB|

Przykład

Długość odcinka środkowego

Jeżeli bok równoległy do odcinka środkowego ma długość $18$ , to długość tego odcinka wynosi:

\frac12\cdot18=9

Trójkąt prostokątny

Twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie odwrotne

Twierdzenie

Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest sumą kwadratów długości przyprostokątnych.

a^2+b^2=c^2

Twierdzenie

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Jeżeli długości boków trójkąta spełniają równość $a^2+b^2=c^2$ , gdzie $c$ jest najdłuższym bokiem, to trójkąt jest prostokątny.

Wniosek z podobieństwa

Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną

Niech wysokość $h$ podzieli przeciwprostokątną $c$ na odcinki $p$ i $q$ , przy czym $p$ leży przy przyprostokątnej $a$ , a $q$ przy przyprostokątnej $b$ . Wtedy:

h^2=pq

a^2=cp,\qquad b^2=cq

Przykład

Obliczanie przeciwprostokątnej

Przyprostokątne mają długości $9$ i $12$ .

c=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15

Przykład

Rozpoznawanie trójkąta prostokątnego

7^2+24^2=49+576=625=25^2

Trójkąt o bokach $7,24,25$ jest więc prostokątny.

Szczególne odcinki

Wysokości i środkowe w trójkącie

Definicja

Wysokość trójkąta

Wysokość jest odcinkiem poprowadzonym z wierzchołka prostopadle do przeciwległego boku albo do prostej zawierającej ten bok. Punkt, w którym wysokość spotyka bok lub jego przedłużenie, jest spodkiem wysokości.

Twierdzenie

Ortocentrum

Trzy wysokości trójkąta lub proste, które je zawierają, przecinają się w jednym punkcie nazywanym ortocentrum.

W trójkącie ostrokątnym ortocentrum leży wewnątrz.
W trójkącie prostokątnym jest wierzchołkiem kąta prostego.
W trójkącie rozwartokątnym leży poza trójkątem.

Definicja

Środkowa trójkąta

Środkowa łączy wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma trzy środkowe.

Twierdzenie

Środek ciężkości

Trzy środkowe przecinają się w jednym punkcie $G$ . Punkt ten dzieli każdą środkową w stosunku $2:1$ , licząc od wierzchołka.

AG:GM=2:1

Szczególne przypadki

W trójkącie równoramiennym środkowa poprowadzona do podstawy jest jednocześnie wysokością i dwusieczną.
W trójkącie równobocznym wysokości, środkowe, symetralne i dwusieczne pokrywają się, a wysokość ma długość $h=\frac{a\sqrt3}{2}$ .
W trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość równą połowie przeciwprostokątnej.

Przykład

Podział środkowej przez środek ciężkości

Środkowa ma długość $15$ . Odcinek od wierzchołka do środka ciężkości ma długość $\frac23\cdot15=10$ , a pozostała część — $5$ .

Okrąg opisany

Symetralne boków i okrąg opisany

Definicja

Okrąg opisany na trójkącie

Okrąg opisany przechodzi przez wszystkie trzy wierzchołki trójkąta. Trójkąt nazywamy wtedy wpisanym w ten okrąg.

Twierdzenie

Środek okręgu opisanego

Symetralne trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Jest on równo odległy od wszystkich wierzchołków, dlatego stanowi środek okręgu opisanego.

OA=OB=OC=R

Położenie środka okręgu opisanego

W trójkącie ostrokątnym leży wewnątrz trójkąta.
W trójkącie prostokątnym jest środkiem przeciwprostokątnej, więc $R=\frac c2$ .
W trójkącie rozwartokątnym leży poza trójkątem.
W trójkącie równobocznym $R=\frac23h$ .

Przykład

Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym

Jeśli przeciwprostokątna ma długość $26$ , to promień okręgu opisanego wynosi:

R=\frac{26}{2}=13

Okrąg wpisany

Dwusieczne kątów i okrąg wpisany

Definicja

Dwusieczna kąta w trójkącie

Dwusieczna kąta w trójkącie jest częścią dwusiecznej tego kąta zawartą wewnątrz trójkąta. Dzieli kąt na dwa równe kąty.

Twierdzenie

Podział boku przez dwusieczną kąta wewnętrznego

Jeśli dwusieczna kąta przy wierzchołku $A$ przecina bok $BC$ w punkcie $D$ , to dzieli ten bok w stosunku długości boków przylegających do kąta:

\frac{|BD|}{|DC|}=\frac{|AB|}{|AC|}

Twierdzenie

Dwusieczna kąta zewnętrznego

Dwusieczna kąta zewnętrznego dzieli przeciwległy bok zewnętrznie w stosunku długości boków przylegających do danego wierzchołka.

\frac{|BD|}{|DC|}=\frac{|AB|}{|AC|}

W tym zapisie punkt $D$ leży na przedłużeniu boku $BC$ .

Definicja

Okrąg wpisany w trójkąt

Okrąg wpisany jest styczny do wszystkich trzech boków trójkąta. Jego środek jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów i zawsze leży wewnątrz trójkąta.

Twierdzenie

Środek okręgu wpisanego

Dwusieczne trzech kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie. Jego odległość od każdego boku jest taka sama i równa promieniowi $r$ okręgu wpisanego.

Przydatne zależności

Kąt rozwarty między dwusiecznymi kątów przy $B$ i $C$ ma miarę $90^\circ+\frac12\angle A$ .
W trójkącie równobocznym $r=\frac13h$ .
W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $a,b$ i przeciwprostokątnej $c$ zachodzi $r=\frac{a+b-c}{2}$ .

Przykład

Twierdzenie o dwusiecznej

W trójkącie $AB=9$ , $AC=15$ i $BC=16$ . Dwusieczna kąta $A$ dzieli bok $BC$ w stosunku $3:5$ .

BD=6,\qquad DC=10

Przykład

Promień okręgu wpisanego

Trójkąt prostokątny ma boki $8,15,17$ .

r=\frac{8+15-17}{2}=3

Równość figur

Przystawanie trójkątów

Definicja

Trójkąty przystające

Dwa trójkąty są przystające, gdy mają odpowiednio równe boki i kąty. Można je nałożyć na siebie tak, aby dokładnie się pokryły.

\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1

Kryteria

Cechy przystawania trójkątów

bbb: trzy odpowiednie boki są równe.
bkb: dwa odpowiednie boki i kąt między nimi są równe.
kbk: jeden odpowiedni bok i dwa przyległe do niego kąty są równe.
Trójkąty prostokątne: wystarczy równość przeciwprostokątnych i jednej pary odpowiadających przyprostokątnych.

Warto zapamiętać

Kolejność w zapisie przystawania ma znaczenie: wierzchołki zapisane na tych samych miejscach muszą sobie odpowiadać.

Przykład

Zastosowanie cechy bbb

Dwa trójkąty mają odpowiednio boki długości $5,7,8$ . Na mocy cechy bbb są przystające, nawet jeśli na rysunku są inaczej obrócone.

Ta sama forma, inna skala

Podobieństwo trójkątów

Definicja

Trójkąty podobne i skala podobieństwa

Trójkąty podobne mają odpowiednio równe kąty i proporcjonalne długości odpowiadających boków.

\triangle A_1B_1C_1\sim\triangle ABC

k=\frac{|A_1B_1|}{|AB|}=\frac{|B_1C_1|}{|BC|}=\frac{|A_1C_1|}{|AC|}>0

Kryteria

Cechy podobieństwa trójkątów

bbb: trzy pary odpowiadających boków są proporcjonalne.
bkb: dwie pary boków są proporcjonalne, a kąty między nimi są równe.
kkk: odpowiednie kąty są równe; w praktyce wystarczy sprawdzić dwie pary kątów.

Wniosek

Odpowiadające odcinki w podobnych trójkątach

W tej samej skali co boki zmieniają się również odpowiadające wysokości, środkowe, dwusieczne i promienie okręgów wpisanych oraz opisanych.

Przykład

Wyznaczanie boków z podanej skali

Trójkąt o bokach $6,8,10$ powiększono w skali $k=\frac32$ .

6\cdot\frac32=9,\quad 8\cdot\frac32=12,\quad 10\cdot\frac32=15

Boki obrazu mają długości $9,12,15$ .