Geometria płaska — pojęcia wstępne

Punkty, proste, kąty, wielokąty, twierdzenie Talesa, okręgi i podstawowe zależności geometryczne.

Podstawowe obiekty

Punkt, prosta, odcinek, półprosta i kąt

Definicja

Punkt i prosta

Punkt nie ma wymiarów — wskazuje jedynie położenie. Przez dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta. Punkty leżące na jednej prostej nazywamy współliniowymi.

Definicja

Odcinek i jego środek

Odcinek $AB$ składa się z punktów $A$ , $B$ i wszystkich punktów prostej leżących pomiędzy nimi. Jego długość zapisujemy $|AB|$ .

Punkt $S$ jest środkiem odcinka $AB$ , gdy leży na tym odcinku i $|AS|=|SB|$ .

Definicja

Półprosta i kąt

Półprosta ma punkt początkowy i biegnie bez końca w jednym kierunku. Dwie półproste o wspólnym początku, leżące na jednej prostej i skierowane przeciwnie, są półprostymi przeciwnymi.

Kąt tworzą dwie półproste o wspólnym początku. Wspólny punkt to wierzchołek, a półproste są ramionami kąta.

Rodzaje kątów

Kąt może być zerowy, ostry, prosty, rozwarty, półpełny, wklęsły albo pełny. Kąt prosty ma $90^\circ$ , półpełny $180^\circ$ , a pełny $360^\circ$ .

$1^\circ=60'$ oraz $1'=60''$ . Kąty przyległe mają sumę $180^\circ$ , a kąty wierzchołkowe są równe.

Przykład

Środek odcinka

Jeżeli $|AS|=4{,}5$ i $S$ jest środkiem odcinka $AB$ , to:

|AB|=2\cdot4{,}5=9

Przykład

Kąty przyległe

Jeden z kątów ma $124^\circ$ . Drugi ma więc:

180^\circ-124^\circ=56^\circ

Wypukłość

Figury wypukłe i ograniczone

Definicja

Figura wypukła

Figura jest wypukła, jeśli wraz z każdymi dwoma swoimi punktami zawiera cały odcinek, który je łączy. Przecięcie dowolnej liczby figur wypukłych również jest figurą wypukłą.

Definicja

Figura ograniczona

Figurę nazywamy ograniczoną, jeśli można ją w całości umieścić wewnątrz pewnego koła. Odcinek i wielokąt są ograniczone, natomiast prosta i półprosta — nie.

Wielokąty

Łamana, wielokąt i wielokąt foremny

Definicja

Łamana i wielokąt

Łamana to ciąg odcinków, w którym koniec jednego jest początkiem następnego. Jest prosta, gdy jej boki nie przecinają się poza wspólnymi końcami. Prosta łamana zamknięta wyznacza wielokąt.

Odcinek łączący dwa niesąsiednie wierzchołki wielokąta nazywamy przekątną. Wielokąt foremny ma wszystkie boki tej samej długości i wszystkie kąty wewnętrzne tej samej miary.

Wzór

Liczba przekątnych wielokąta

Wielokąt o $n$ wierzchołkach ma:

\frac{n(n-3)}{2}

przekątnych.

Przykład

Przekątne dziewięciokąta

\frac{9(9-3)}2=27

Przykład

Czy figura jest foremna?

Romb ma równe boki, ale zwykle nie ma równych kątów. Dlatego nie każdy romb jest wielokątem foremnym; foremnym rombem jest kwadrat.

Proste

Położenie prostych i odległość

Definicja

Proste równoległe i prostopadłe

Dwie różne proste na płaszczyźnie są równoległe, gdy nie mają punktów wspólnych. Proste prostopadłe przecinają się pod kątem prostym.

Przez punkt nienależący do danej prostej przechodzi dokładnie jedna prosta równoległa do tej prostej — jest to aksjomat Euklidesa.

Definicja

Odległość punktu i prostych równoległych

Odległość punktu od prostej to długość odcinka prostopadłego poprowadzonego z punktu do tej prostej. Odległość dwóch prostych równoległych to odległość dowolnego punktu jednej prostej od drugiej.

Twierdzenie

Proste prostopadłe do tej samej prostej

Jeśli dwie proste są prostopadłe do tej samej prostej, to są do siebie równoległe.

Zbiory punktów

Symetralna odcinka i dwusieczna kąta

Definicja

Symetralna odcinka

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka i przechodząca przez jego środek.

Twierdzenie

Własność symetralnej

Punkt leży na symetralnej odcinka wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednakowo odległy od obu jego końców.

P\in s\quad\Longleftrightarrow\quad |PA|=|PB|

Definicja

Dwusieczna kąta

Dwusieczna dzieli kąt na dwa kąty o tej samej mierze.

Twierdzenie

Własność dwusiecznej

Punkt leżący wewnątrz kąta znajduje się na jego dwusiecznej wtedy i tylko wtedy, gdy ma równe odległości od obu ramion kąta.

Kąty przy prostych

Dwie proste przecięte trzecią prostą

Definicja

Kąty odpowiadające i naprzemianległe

Gdy trzecia prosta przecina dwie inne, powstają pary kątów odpowiadających oraz naprzemianległych — wewnętrznych i zewnętrznych.

Twierdzenie

Warunek równoległości prostych

Jeśli para kątów naprzemianległych wewnętrznych ma równe miary, to przecięte proste są równoległe. I odwrotnie: dla prostych równoległych odpowiednie kąty naprzemianległe są równe.

Kąty wielokąta

Suma kątów w wielokącie

Twierdzenie

Suma kątów wewnętrznych

W trójkącie suma kątów wewnętrznych wynosi $180^\circ$ . W wypukłym $n$ -kącie wynosi:

(n-2)\cdot180^\circ

Twierdzenie

Suma kątów zewnętrznych

Suma po jednym kącie zewnętrznym przy każdym wierzchołku dowolnego wielokąta wypukłego wynosi $360^\circ$ .

Przykład

Sześciokąt foremny

(6-2)\cdot180^\circ=720^\circ

Każdy kąt wewnętrzny ma $720^\circ:6=120^\circ$ .

Przykład

Kąt zewnętrzny ośmiokąta foremnego

360^\circ:8=45^\circ

Proporcje

Twierdzenie Talesa

Twierdzenie

Twierdzenie Talesa

Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to wyznaczone na ramionach odcinki są proporcjonalne.

AB\parallel A'B'\quad\Longrightarrow\quad\frac{|OA|}{|OA'|}=\frac{|OB|}{|OB'|}=\frac{|AB|}{|A'B'|}

Twierdzenie

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

Jeśli punkty na dwóch ramionach kąta dzielą je w tej samej proporcji, to proste łączące odpowiednie punkty są równoległe.

Przykład

Obliczanie długości

Dane: $|OA|=6$ , $|OA'|=9$ , $|OB|=10$ .

\frac6{9}=\frac{10}{|OB'|}\quad\Rightarrow\quad |OB'|=15

Przykład

Dzielenie odcinka w stosunku 2 : 3

Z jednego końca odcinka prowadzimy pomocniczą półprostą, odkładamy na niej pięć równych części, a następnie używamy prostych równoległych. Punkt odpowiadający drugiej części dzieli odcinek w stosunku $2:3$ .

Okrąg

Okrąg i koło

Definicja

Okrąg i koło

Okrąg o środku $O$ i promieniu $r$ jest zbiorem punktów odległych od $O$ dokładnie o $r$ . Koło zawiera okrąg oraz wszystkie punkty leżące bliżej środka.

Promień łączy środek z punktem okręgu. Cięciwa łączy dwa punkty okręgu, a cięciwa przechodząca przez środek jest średnicą.

Twierdzenie

Prostopadła ze środka do cięciwy

Prosta poprowadzona ze środka okręgu prostopadle do cięciwy dzieli tę cięciwę na dwie równe części.

Przykład

Długość cięciwy

Promień ma długość $10$ , a odległość środka od cięciwy wynosi $6$ . Połowa cięciwy jest przyprostokątną:

x^2+6^2=10^2\quad\Rightarrow\quad x=8

Cała cięciwa ma długość $16$ .

Styczna

Prosta i okrąg

Definicja

Sieczna i styczna

Prosta mająca z okręgiem dwa punkty wspólne jest sieczną. Prosta mająca dokładnie jeden punkt wspólny jest styczną, a ten punkt nazywamy punktem styczności.

Twierdzenie

Odległość prostej od środka okręgu

d<r\Rightarrow\text{ sieczna},\qquad d=r\Rightarrow\text{ styczna},\qquad d>r\Rightarrow\text{ brak punktów wspólnych}

Twierdzenie

Promień i styczna

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.

Twierdzenie

Odcinki stycznych

Dwa odcinki stycznych poprowadzonych z jednego punktu zewnętrznego do okręgu mają równe długości.

Przykład

Dwie styczne z punktu P

Jeśli odcinki $PA$ i $PB$ są styczne do tego samego okręgu, a $|PA|=7$ , to $|PB|=7$ .

Dwa okręgi

Wzajemne położenie dwóch okręgów

Definicja

Odległość środków i promienie

Niech okręgi mają promienie $r_1$ , $r_2$ , a odległość ich środków wynosi $d$ . Porównanie $d$ z sumą i różnicą promieni rozstrzyga, czy okręgi są rozłączne, styczne czy przecinają się w dwóch punktach.

Przykład

Styczność zewnętrzna

Dla $r_1=5$ , $r_2=3$ i $d=8$ mamy $d=r_1+r_2$ , więc okręgi są styczne zewnętrznie.

Przykład

Dwa punkty wspólne

Dla $r_1=6$ , $r_2=4$ i $d=7$ zachodzi $2<7<10$ . Okręgi przecinają się w dwóch punktach.

Kąty i łuki

Kąty w kole

Definicja

Łuk, kąt środkowy i kąt wpisany

Dwa punkty okręgu dzielą go na dwa łuki. Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu, a kąt wpisany — na okręgu. Mówimy, że kąty są oparte na tym samym łuku, gdy ich ramiona przecinają okrąg w tych samych końcach łuku.

Twierdzenie

Kąt środkowy i wpisany

Kąt środkowy oparty na danym łuku ma miarę dwa razy większą niż kąt wpisany oparty na tym samym łuku.

\alpha_{\text{środkowy}}=2\alpha_{\text{wpisany}}

Twierdzenie

Najważniejsze wnioski

Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.
Kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary.
Kąt między styczną i cięciwą jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tym samym łuku.

Przykład

Z kąta środkowego

Jeśli kąt środkowy ma $110^\circ$ , to kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma $55^\circ$ .

Przykład

Kąt oparty na średnicy

Jeśli $AB$ jest średnicą, to dla każdego punktu $C$ na odpowiednim półokręgu $\angle ACB=90^\circ$ .