Wyrażenia algebraiczne

Potęgi, pierwiastki, jednomiany, wzory skróconego mnożenia, logarytmy, dowodzenie i przekształcanie wzorów.

Potęgi

Potęga o wykładniku naturalnym

Definicja

Potęga liczby

Dla liczby naturalnej dodatniej $n$ potęga liczby $a$ jest iloczynem $n$ jednakowych czynników:

a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n\ \text{czynników}}

Dla $a\ne0$ przyjmujemy także $a^0=1$ . Wyrażenia $0^0$ nie określamy w ten sposób.

Twierdzenie

Prawa działań na potęgach

Dla odpowiednich liczb rzeczywistych $a$ , $b$ oraz naturalnych wykładników zachodzą:

a^m\cdot a^n=a^{m+n}

\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\quad(a\ne0,\ m\ge n)

(a^m)^n=a^{mn}

(ab)^n=a^nb^n,\qquad \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}

Przykład

Łączenie potęg o tej samej podstawie

\frac{3^2\cdot3^5}{3^3}=3^{2+5-3}=3^4=81

Przykład

Potęga iloczynu

(2x^2y)^3=2^3x^6y^3=8x^6y^3

Pierwiastki

Pierwiastek arytmetyczny i pierwiastki nieparzystego stopnia

Definicja

Pierwiastek arytmetyczny stopnia n

Dla $n\ge2$ i $a\ge0$ pierwiastkiem arytmetycznym stopnia $n$ z liczby $a$ nazywamy jedyną nieujemną liczbę $b$ , dla której $b^n=a$ .

\sqrt[n]{a}=b\quad\Longleftrightarrow\quad b\ge0\ \land\ b^n=a

Gdy stopień pierwiastka jest nieparzysty, pierwiastek można obliczyć również z liczby ujemnej, na przykład $\sqrt[3]{-216}=-6$ .

Twierdzenie

Najważniejsze własności pierwiastków

\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}

\sqrt[n]{\frac ab}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

\sqrt[n]{a^n}=\begin{cases}|a|,&n\ \text{parzyste},\\a,&n\ \text{nieparzyste}. \end{cases}

Warto zapamiętać

Szczególnie ważny jest zapis $\sqrt{a^2}=|a|$ , a nie zawsze $a$ . Pierwiastek arytmetyczny nie może być ujemny.

Przykład

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2

Przykład

Pierwiastek z kwadratu wyrażenia

\sqrt{(x-5)^2}=|x-5|

Rachunek algebraiczny

Wyrażenia algebraiczne i jednomiany

Definicja

Wyrażenie algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne powstaje z liczb, liter oznaczających liczby, znaków działań i nawiasów. Litery występujące w wyrażeniu nazywamy zmiennymi.

Definicja

Jednomian i wyrazy podobne

Jednomian jest iloczynem liczby oraz potęg zmiennych o naturalnych wykładnikach. Liczbę stojącą przed częścią literową nazywamy współczynnikiem.

Wyrazy podobne mają identyczną część literową. Możemy je dodawać lub odejmować, wykonując działanie na ich współczynnikach.

Przykład

Redukcja wyrazów podobnych

4x^2y-3xy+7x^2y+5xy=11x^2y+2xy

Przykład

Mnożenie wyrażeń

(2x-3)(x+4)=2x^2+8x-3x-12=2x^2+5x-12

Zasada

Wyłączanie wspólnego czynnika

Prawo rozdzielności można zastosować w odwrotną stronę: wspólny czynnik wszystkich składników wyłączamy przed nawias.

ab+ac=a(b+c)

12x^3y-18x^2y^2=6x^2y(2x-3y)

Wzory skróconego mnożenia — kwadraty

Twierdzenie

Kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnica kwadratów

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Przykład

Rozwijanie kwadratu różnicy

(2x-3)^2=4x^2-12x+9

Przykład

Rozkład na czynniki

9y^2-25=(3y-5)(3y+5)

Przykład

Szybkie obliczenie kwadratu liczby

103^2=(100+3)^2=10000+600+9=10609

Rozszerzenie pojęcia potęgi

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Definicja

Ujemny wykładnik

Dla $a\ne0$ i dodatniej liczby naturalnej $n$ definiujemy:

a^{-n}=\frac1{a^n}

Dzięki tej definicji prawa działań na potęgach pozostają prawdziwe także dla wykładników całkowitych.

Przykład

Liczbowy ujemny wykładnik

4^{-3}=\frac1{4^3}=\frac1{64}

Przykład

Upraszczanie ilorazu potęg

\frac{x^{-2}y^3}{x^4y^{-1}}=x^{-6}y^4=\frac{y^4}{x^6}

Potęga o wykładniku wymiernym i rzeczywistym

Definicja

Wykładnik wymierny

Dla $a\ge0$ , $m\in\mathbb{Z}$ i dodatniej liczby naturalnej $n$ przyjmujemy:

a^{\frac mn}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m

Jeśli wykładnik jest ujemny, potrzebujemy $a>0$ .

Twierdzenie

Prawa działań

Dla dodatnich podstaw i wykładników wymiernych lub rzeczywistych zachowujemy te same prawa potęgowania:

a^r a^s=a^{r+s},\qquad \frac{a^r}{a^s}=a^{r-s},\qquad (a^r)^s=a^{rs}

(ab)^r=a^rb^r,\qquad \left(\frac ab\right)^r=\frac{a^r}{b^r}

Warto zapamiętać

Potęgę o dodatniej podstawie i wykładniku niewymiernym określa się przez coraz dokładniejsze wymierne przybliżenia wykładnika. Dlatego dla dowolnego wykładnika rzeczywistego standardowo wymagamy dodatniej podstawy.

Przykład

Dodatni wykładnik wymierny

27^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{27}\right)^2=3^2=9

Przykład

Ujemny wykładnik wymierny

16^{-\frac34}=\frac1{(\sqrt[4]{16})^3}=\frac18

Zapis naukowy

Definicja

Notacja wykładnicza

Niezerową liczbę zapisujemy w notacji naukowej w postaci:

a\cdot10^k,\qquad 1\le|a|<10,\quad k\in\mathbb{Z}

Przykład

Duża liczba

7\,250\,000=7{,}25\cdot10^6

Przykład

Mała liczba

0{,}000084=8{,}4\cdot10^{-5}

Rozumowanie matematyczne

Dowodzenie twierdzeń

Definicja

Założenie, teza i dowód

Założenie opisuje warunki, które przyjmujemy. Teza jest zdaniem, które mamy wykazać. Dowód to ciąg poprawnych wniosków prowadzący od założeń do tezy.

Metody

Dowód wprost i dowód nie wprost

W dowodzie wprost korzystamy bezpośrednio z założeń. W dowodzie nie wprost zakładamy, że teza jest fałszywa, i pokazujemy, że prowadzi to do sprzeczności.

Przykład

Kwadrat liczby nieparzystej

Niech $n=2k+1$ . Wtedy:

n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1

Otrzymaliśmy liczbę nieparzystą.

Przykład

Wymierna plus niewymierna

Załóżmy przeciwnie, że dla wymiernej $q$ i niewymiernej $x$ suma $q+x$ jest wymierna. Wtedy $x=(q+x)-q$ byłaby różnicą liczb wymiernych, czyli liczbą wymierną — sprzeczność.

Działanie odwrotne do potęgowania

Logarytm — definicja i własności

Definicja

Logarytm liczby

Logarytm liczby $b$ przy podstawie $a$ jest wykładnikiem potęgi, do której trzeba podnieść $a$ , aby otrzymać $b$ .

\log_a b=c\quad\Longleftrightarrow\quad a^c=b

a>0,\qquad a\ne1,\qquad b>0

Twierdzenie

Podstawowe własności logarytmów

\log_a1=0,\qquad \log_a a=1

\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y

\log_a\frac xy=\log_a x-\log_a y

\log_a(x^r)=r\log_a x

Przykład

Logarytm z definicji

\log_3 81=4,\qquad 3^4=81

Przykład

Łączenie logarytmów

\log_2 48-\log_2 3=\log_2 16=4

Praca ze wzorami

Przekształcanie wzorów

Schemat

Jak wyznaczyć wskazaną wielkość?

Ustal, dla jakich wartości wszystkie działania mają sens.
Usuń nawiasy i — jeśli potrzeba — mianowniki.
Zbierz składniki zawierające szukaną wielkość po jednej stronie.
Wyłącz szukaną wielkość przed nawias i podziel przez jej współczynnik.

Przykład

Prawo Ohma

U=IR

R=\frac UI\quad(I\ne0),\qquad I=\frac UR\quad(R\ne0)

Przykład

Wzór z kwadratem niewiadomej

F=\frac{mv^2}{r}

v^2=\frac{Fr}{m},\qquad v=\sqrt{\frac{Fr}{m}}

W zastosowaniu fizycznym prędkość przyjmujemy jako nieujemną.

Opis danych

Średnia arytmetyczna, geometryczna i ważona

Definicja

Trzy rodzaje średnich

Średnia arytmetyczna liczb $a_1,\ldots,a_n$ :

S_A=\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}

Średnia geometryczna dodatnich liczb:

S_G=\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}

Średnia ważona przy dodatnich wagach:

S_W=\frac{a_1w_1+a_2w_2+\ldots+a_nw_n}{w_1+w_2+\ldots+w_n}

Twierdzenie

Średnia arytmetyczna i geometryczna

Dla dodatnich liczb zachodzi:

S_G\le S_A

Równość występuje wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie liczby są równe.

Przykład

Średnia ważona ocen

Oceny 5, 4 i 3 mają odpowiednio wagi 3, 2 i 1.

S_W=\frac{5\cdot3+4\cdot2+3\cdot1}{3+2+1}=\frac{26}{6}\approx4{,}33

Przykład

Średnia geometryczna dwóch liczb

S_G=\sqrt{4\cdot25}=10

S_A=\frac{4+25}{2}=14{,}5