Działania w zbiorach liczbowych

Podzielność, NWD i NWW, prawa działań, równania, nierówności, procenty, wartość bezwzględna i przybliżenia.

Liczby naturalne

Podzielność, liczby pierwsze i rozkład na czynniki

Definicja

Dzielnik i wielokrotność

Mówimy, że liczba naturalna $m$ różna od zera jest dzielnikiem liczby $n$ , jeśli $n$ można zapisać jako iloczyn $m$ i pewnej liczby naturalnej $k$ .

m\mid n\quad\Longleftrightarrow\quad \exists k\in\mathbb{N}\;\;n=m\cdot k

Wtedy liczba $n$ jest wielokrotnością liczby $m$ .

Przykład

Sprawdzanie podzielności

9\mid72,\qquad 72=9\cdot8

Liczba 72 jest podzielna przez 9, a 9 jest jej dzielnikiem.

Przykład

Brak podzielności

7\nmid45

Nie istnieje liczba naturalna $k$ , dla której $45=7k$ .

Definicja

Liczba pierwsza i liczba złożona

Liczba pierwsza to liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dodatnie dzielniki: 1 i samą siebie.

Liczba złożona jest większa od 1 i ma więcej niż dwa dodatnie dzielniki. Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone.

Twierdzenie

Jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze

Każdą liczbę naturalną większą od 1 można przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych. Taki rozkład jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności czynników.

360=2^3\cdot3^2\cdot5

Najczęściej używane cechy podzielności
Dzielnik	Warunek
2	ostatnia cyfra jest parzysta
3	suma cyfr jest podzielna przez 3
4	liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4
5	ostatnią cyfrą jest 0 albo 5
6	liczba jest jednocześnie podzielna przez 2 i 3
8	liczba utworzona z trzech ostatnich cyfr jest podzielna przez 8
9	suma cyfr jest podzielna przez 9
10	ostatnią cyfrą jest 0

Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność

Definicja

NWD i NWW

NWD dwóch dodatnich liczb naturalnych to największa liczba, która dzieli każdą z nich. NWW to najmniejsza dodatnia liczba będąca wielokrotnością obu liczb.

\operatorname{NWD}(a,b),\qquad \operatorname{NWW}(a,b)

Jeśli $\operatorname{NWD}(a,b)=1$ , liczby $a$ i $b$ nazywamy względnie pierwszymi.

Twierdzenie

Związek między NWD i NWW

Dla dodatnich liczb naturalnych zachodzi:

\operatorname{NWD}(a,b)\cdot\operatorname{NWW}(a,b)=a\cdot b

Przykład

NWD i NWW z rozkładu na czynniki

84=2^2\cdot3\cdot7

126=2\cdot3^2\cdot7

\operatorname{NWD}(84,126)=2\cdot3\cdot7=42

\operatorname{NWW}(84,126)=2^2\cdot3^2\cdot7=252

Przykład

Algorytm Euklidesa

252=2\cdot105+42

105=2\cdot42+21

42=2\cdot21+0

Ostatnia niezerowa reszta to 21, zatem $\operatorname{NWD}(252,105)=21$ .

Dzielenie z resztą

Twierdzenie

Twierdzenie o dzieleniu z resztą

Dla liczby całkowitej $a$ i dodatniej liczby naturalnej $b$ istnieją dokładnie jedna liczba całkowita $q$ oraz dokładnie jedna reszta $r$ spełniające:

a=bq+r,\qquad 0\le r<b

Przykład

Dodatnia liczba dzielna

347=12\cdot28+11

Iloraz wynosi 28, a reszta 11.

Przykład

Ujemna liczba dzielna

-29=6\cdot(-5)+1

Reszta nadal jest nieujemna i mniejsza od dzielnika: $0\le1<6$ .

Liczby całkowite

Liczby parzyste i nieparzyste

Definicja

Parzystość

Liczba całkowita jest parzysta, gdy ma postać $2k$ , i nieparzysta, gdy ma postać $2k+1$ , gdzie $k\in\mathbb{Z}$ .

Twierdzenie

Najważniejsze własności parzystości

\text{parzysta}+\text{parzysta}=\text{parzysta}

\text{nieparzysta}+\text{nieparzysta}=\text{parzysta}

\text{parzysta}\cdot\text{całkowita}=\text{parzysta}

\text{nieparzysta}\cdot\text{nieparzysta}=\text{nieparzysta}

Przykład

Krótki dowód

Niech $a=2k+1$ i $b=2m+1$ będą nieparzyste. Wtedy:

a+b=2k+1+2m+1=2(k+m+1)

Suma ma postać dwa razy liczba całkowita, więc jest parzysta.

Liczby wymierne i niewymierne

Działania na liczbach wymiernych i niewymiernych

Twierdzenie

Domknięcie zbioru liczb wymiernych

Suma, różnica i iloczyn dwóch liczb wymiernych są wymierne. Iloraz również jest wymierny, o ile dzielnik jest różny od zera.

Warto zapamiętać

Suma liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierna. Iloczyn niezerowej liczby wymiernej i niewymiernej także jest niewymierny.

Działanie na dwóch liczbach niewymiernych może jednak dać liczbę wymierną albo niewymierną.

\sqrt7+(-\sqrt7)=0,\qquad \sqrt7\cdot\sqrt7=7

Przykład

Wymierna plus niewymierna

4+\sqrt3

Wynik jest niewymierny — odjęcie 4 nie może zmienić $\sqrt3$ w liczbę wymierną.

Przykład

Dwie liczby niewymierne

\sqrt2+\sqrt8=3\sqrt2

\sqrt8-\sqrt2=\sqrt2

W obu przypadkach wynik pozostaje niewymierny.

Definicja

Część całkowita i część ułamkowa

Część całkowita liczby $x$ , oznaczana $\lfloor x\rfloor$ , to największa liczba całkowita nieprzekraczająca $x$ . Część ułamkowa to:

\{x\}=x-\lfloor x\rfloor,\qquad 0\le\{x\}<1

\lfloor-2{,}35\rfloor=-3,\qquad \{-2{,}35\}=0{,}65

Prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych

Twierdzenie

Podstawowe prawa rachunkowe

a+b=b+a,\qquad ab=ba

(a+b)+c=a+(b+c),\qquad (ab)c=a(bc)

a+0=a,\qquad a\cdot1=a,\qquad a+(-a)=0

a\ne0\Rightarrow a\cdot\frac1a=1

a(b+c)=ab+ac

Warto zapamiętać

Odejmowanie i dzielenie nie są przemienne ani łączne. Najpierw wykonujemy działania w nawiasach, potem potęgi, następnie mnożenie i dzielenie, a na końcu dodawanie i odejmowanie.

Definicja

Proporcja

Proporcją nazywamy równość dwóch ilorazów. Przy niezerowych $b$ i $d$ zachodzi:

\frac ab=\frac cd\quad\Longleftrightarrow\quad ad=bc

Przykład

Wyznaczanie niewiadomej z proporcji

\frac{x}{15}=\frac8{20}

20x=120,\qquad x=6

Przekształcenia algebraiczne

Równania równoważne

Definicja

Równania równoważne

Dwa równania określone w tej samej dziedzinie są równoważne, gdy mają dokładnie ten sam zbiór rozwiązań.

Zasady

Dozwolone przekształcenia równania

Do obu stron można dodać lub od obu stron odjąć to samo wyrażenie.
Obie strony można pomnożyć przez tę samą liczbę różną od zera.
Obie strony można podzielić przez to samo wyrażenie, jeśli wiemy, że w rozpatrywanej dziedzinie nie przyjmuje ono wartości zero.

Warto zapamiętać

Jeśli w równaniu występuje niewiadoma w mianowniku, najpierw zapisujemy dziedzinę. Dzielenie lub mnożenie przez wyrażenie, które może być zerem, może zmienić zbiór rozwiązań.

Przykład

Równanie wymierne

\frac{3x-2}{x+1}=2,\qquad x\ne-1

3x-2=2x+2

x=4

Przykład

Równanie tożsamościowe i sprzeczne

x+2=x+2\quad\Rightarrow\quad S=\mathbb{R}

4x+1=4x-3\quad\Rightarrow\quad S=\varnothing

Nierówności równoważne

Definicja

Nierówności równoważne

Dwie nierówności określone w tej samej dziedzinie są równoważne, jeśli mają ten sam zbiór rozwiązań.

Zasady

Dozwolone przekształcenia nierówności

Dodanie tego samego wyrażenia do obu stron nie zmienia znaku nierówności.
Mnożąc lub dzieląc obie strony przez liczbę dodatnią, zachowujemy znak nierówności.
Mnożąc lub dzieląc przez liczbę ujemną, odwracamy znak nierówności.

a<b,\ c<0\quad\Rightarrow\quad ac>bc

Przykład

Zmiana zwrotu nierówności

-3(2x-1)>9

-6x>6

x<-1

Przykład

Nierówność podwójna

1<2x+3\le9

-2<2x\le6

-1<x\le3

Zastosowania

Procenty

Definicja

Procent jako część całości

p\%\ \text{liczby }a=\frac{p}{100}\cdot a

\text{jaki procent stanowi }a\text{ z }b=\frac ab\cdot100\%

Wzory

Podwyżka i obniżka procentowa

\text{po podwyżce o }p\%:\quad a\left(1+\frac p{100}\right)

\text{po obniżce o }p\%:\quad a\left(1-\frac p{100}\right)

Przykład

Dwie kolejne zmiany ceny

Cenę 240 zł podniesiono o 15%, a potem obniżono o 10%.

240\cdot1{,}15\cdot0{,}90=248{,}40

Zmiany procentowe wykonujemy kolejno przez mnożenie odpowiednich współczynników. Nie wystarczy odjąć 10 od 15.

Warto zapamiętać

Ten sam mechanizm opisuje oprocentowanie składane: jeśli kapitał rośnie w każdym okresie o $p\%$ , to po $n$ okresach ma wartość:

K_n=K_0\left(1+\frac p{100}\right)^n

Punkty procentowe

Definicja

Punkt procentowy

Punkt procentowy służy do opisywania bezwzględnej różnicy między dwiema wartościami podanymi w procentach.

Przykład

Procenty a punkty procentowe

Wskaźnik wzrósł z 18% do 24%.

24\%-18\%=6\ \text{p.p.}

\frac{24-18}{18}\cdot100\%=33\tfrac13\%

To wzrost o 6 punktów procentowych, ale o około 33,3% względem wartości początkowej.

Odległość na osi

Wartość bezwzględna oraz proste równania i nierówności

Definicja

Wartość bezwzględna

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej.

|x|=\begin{cases}x,&x\ge0,\\-x,&x<0.\end{cases}

Odległość liczb $x$ i $a$ jest równa $|x-a|$ .

Schemat

Równania i nierówności z odległością

Dla $r$ dodatniego:

|x-a|=r\quad\Longleftrightarrow\quad x=a-r\ \lor\ x=a+r

|x-a|<r\quad\Longleftrightarrow\quad a-r<x<a+r

|x-a|>r\quad\Longleftrightarrow\quad x<a-r\ \lor\ x>a+r

Dla znaków $\le$ i $\ge$ końce odpowiednich przedziałów również należą do zbioru rozwiązań.

Przykład

Równanie z wartością bezwzględną

|2x+1|=7

2x+1=7\ \lor\ 2x+1=-7

x=3\ \lor\ x=-4

Przykład

Nierówność jako odległość

|x-4|\le3

1\le x\le7

Zbiorem rozwiązań jest przedział $[1,7]$ .

Obliczenia przybliżone

Przybliżenia, błędy i szacowanie

Definicja

Błąd bezwzględny i względny

Jeśli liczbę dokładną $x$ zastępujemy przybliżeniem $a$ , to błąd bezwzględny wynosi:

\Delta=|x-a|

Dla $x\ne0$ błąd względny i błąd procentowy są równe:

\delta=\frac{|x-a|}{|x|},\qquad \delta_p=\frac{|x-a|}{|x|}\cdot100\%

Przykład

Ocena dokładności przybliżenia

Liczbę 12,48 zaokrąglono do 12,5.

\Delta=|12{,}48-12{,}5|=0{,}02

\delta_p=\frac{0{,}02}{12{,}48}\cdot100\%\approx0{,}16\%

Zasada

Zaokrąglanie

Jeśli pierwsza odrzucona cyfra jest mniejsza od 5, ostatnia zachowana cyfra nie zmienia się. Jeśli jest równa co najmniej 5, ostatnią zachowaną cyfrę zwiększamy o 1.

6{,}374\approx6{,}37,\qquad 6{,}378\approx6{,}38

Warto zapamiętać

Przy szacowaniu zastępujemy liczby wygodnymi wartościami bliskimi danym liczbom, aby szybko ocenić rząd wielkości wyniku.

0{,}49\cdot198\approx0{,}5\cdot200=100