Wprowadzenie do matematyki — pojęcia podstawowe

Zdaniem logicznym nazywamy wypowiedź oznajmującą, której można przypisać dokładnie jedną wartość logiczną: prawdę albo fałsz.

Zdania oznaczamy najczęściej małymi literami, na przykład $p$, $q$ i $r$.

Zaprzeczenie zdania $p$ oznaczamy $\neg p$ i czytamy „nieprawda, że $p$”. Ma ono wartość przeciwną do zdania $p$.

Koniunkcję zdań $p$ i $q$ zapisujemy $p\land q$ i czytamy „ $p$ i $q$”. Jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania są prawdziwe.

Alternatywę zdań $p$ i $q$ zapisujemy $p\lor q$ i czytamy „ $p$ lub $q$”. Jest prawdziwa, gdy przynajmniej jedno ze zdań jest prawdziwe. W logice matematycznej „lub” dopuszcza także sytuację, w której oba zdania są prawdziwe.

Implikację $p\Rightarrow q$ czytamy „jeżeli $p$, to $q$”. Zdanie $p$ nazywamy poprzednikiem, a $q$ następnikiem. Implikacja jest fałszywa tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy.

Równoważność $p\Leftrightarrow q$ czytamy „$p$ wtedy i tylko wtedy, gdy $q$”. Jest prawdziwa, gdy oba zdania mają tę samą wartość logiczną.

Prawo logiczne to zdanie złożone, które jest prawdziwe dla każdego możliwego zestawu wartości logicznych zdań składowych. Takie zdanie nazywamy też tautologią.

Gdy dwie formuły mają zawsze tę samą wartość logiczną, zapisujemy między nimi znak równoważności.

Zbiór to kolekcja dobrze określonych obiektów, które nazywamy jego elementami. Kolejność elementów nie ma znaczenia, a powtórzenia nie tworzą nowych elementów.

Zbiór pusty to zbiór, który nie zawiera żadnego elementu. Oznaczamy go symbolem $\varnothing$ albo pustymi nawiasami klamrowymi.

Zbiory $A$ i $B$ są równe, gdy mają dokładnie te same elementy.

Zbiór $A$ jest podzbiorem zbioru $B$, gdy każdy element zbioru $A$ należy również do zbioru $B$.

Zbiór $A$ jest podzbiorem właściwym zbioru $B$, gdy $A\subseteq B$, ale zbiory nie są równe.

Liczby naturalne służą do liczenia elementów i określania kolejności. W tym materiale przyjmujemy, że zero jest liczbą naturalną.

Przykłady: $0$, $7$ i $125$. Liczby $-3$ oraz $\frac12$ nie są naturalne.

Uwaga: w części podręczników symbol $\mathbb{N}$ oznacza zbiór zaczynający się od 1. Zawsze warto sprawdzić przyjętą konwencję.

Liczby całkowite to liczby naturalne, liczby do nich przeciwne oraz zero. Nie mają części ułamkowej.

Przykłady: $-12$, $0$ i $48$. Liczba $2{,}5$ nie jest całkowita.

Liczba jest wymierna, jeśli można ją zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych, przy czym mianownik nie może być zerem.

Do liczb wymiernych należą wszystkie liczby całkowite, ułamki oraz rozwinięcia dziesiętne skończone lub okresowe.

Liczby niewymierne to liczby rzeczywiste, których nie da się zapisać w postaci ułamka dwóch liczb całkowitych. Ich rozwinięcia dziesiętne są nieskończone i nieokresowe.

Nie każdy pierwiastek jest niewymierny: $\sqrt9=3$ jest liczbą naturalną, całkowitą i wymierną.

Liczby rzeczywiste to wszystkie liczby wymierne i niewymierne. Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada dokładnie jeden punkt na osi liczbowej.

Oś liczbowa to prosta z wybranym punktem zerowym, ustalonym kierunkiem dodatnim i odcinkiem jednostkowym. Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada na niej dokładnie jeden punkt.

Liczby dodatnie zaznaczamy na prawo od zera, a liczby ujemne — na lewo. Im dalej w prawo leży punkt, tym większą liczbę przedstawia.

Forma zdaniowa to wypowiedź zawierająca zmienną, która staje się zdaniem logicznym dopiero po podstawieniu konkretnej wartości tej zmiennej.

Dla $x=3$ otrzymujemy zdanie prawdziwe $2\cdot3+1=7$, a dla $x=2$ — zdanie fałszywe $2\cdot2+1=7$.

Równanie z jedną niewiadomą to równość dwóch wyrażeń zawierających jedną zmienną, na przykład $x$. Niewiadomą nazywamy wartość, której szukamy.

Rozwiązaniem równania jest taka wartość niewiadomej, po której podstawieniu otrzymujemy zdanie prawdziwe. Rozwiązać równanie to znaleźć wszystkie takie wartości albo wykazać, że nie istnieje żadna.

Przedział liczbowy to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych położonych między wskazanymi końcami albo po jednej stronie wskazanego końca.

Puste kółko oznacza, że koniec nie należy do przedziału. Pełne kółko oznacza, że koniec należy do przedziału.

Nierówność z jedną niewiadomą porównuje dwa wyrażenia zawierające tę samą zmienną za pomocą jednego ze znaków $<$, $>$, $\leq$ lub $\geq$.

Rozwiązaniem nierówności jest każda wartość niewiadomej, po której podstawieniu otrzymujemy zdanie prawdziwe. Rozwiązać nierówność to znaleźć wszystkie takie wartości i opisać ich zbiór, najczęściej za pomocą przedziału.

Symbol $\forall$ czytamy „dla każdego”, „dla każdej” albo „każdy”. Zdanie ma być prawdziwe dla wszystkich elementów wskazanego zbioru.

Czytamy: „dla każdej liczby rzeczywistej $x$ kwadrat liczby $x$ jest nieujemny”.

Symbol $\exists$ czytamy „istnieje” albo „istnieje co najmniej jeden”. Wystarczy znaleźć jeden element, dla którego forma zdaniowa jest prawdziwa.

Czytamy: „istnieje liczba całkowita $x$, której kwadrat jest równy 9”. Takimi liczbami są $3$ i $-3$.

Zaprzeczenie zdania „dla każdego” oznacza, że istnieje przynajmniej jeden wyjątek. Zaprzeczenie zdania „istnieje” oznacza, że żaden element nie ma podanej własności.