Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Ciągi

Ciągi arytmetyczne, geometryczne i podstawowe wzory.

Przejdź do zadańPrzejdź do quizuZagraj w dziale Gry

Ciągi

Czym jest ciąg?

Ciąg to uporządkowany zapis kolejnych obiektów. Ważna jest kolejność: pierwszy element, drugi element, trzeci element i tak dalej. Elementami ciągu mogą być liczby, litery, figury, kolory albo inne obiekty.

Definicja

Ciąg liczbowy

W matematyce szkolnej najczęściej pracujemy z ciągami liczbowymi, czyli takimi, których kolejne wyrazy są liczbami. Zamiast f(n)f(n) zwykle piszemy ana_n.

(an)=(a1,a2,a3,a4,a5,…)(a_n)=(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\ldots)

Wyraz ana_n oznacza n-ty wyraz ciągu.

Przejdź do quizu
Przykłady

Ciąg liczb parzystych

an=2na_n=2n
a1=2,a2=4,a3=6,a4=8,a5=10,…a_1=2,\quad a_2=4,\quad a_3=6,\quad a_4=8,\quad a_5=10,\quad \ldots

Ciąg kwadratów kolejnych liczb naturalnych

an=n2a_n=n^2
a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,a5=25,…a_1=1,\quad a_2=4,\quad a_3=9,\quad a_4=16,\quad a_5=25,\quad \ldots

Ciąg figur

△, □, ∘, △, □, ∘, …\triangle,\ \square,\ \circ,\ \triangle,\ \square,\ \circ,\ \ldots

To też jest ciąg, bo elementy są zapisane w określonej kolejności.

Ciąg liter

A, B, A, C, B, A, C, B, …A,\ B,\ A,\ C,\ B,\ A,\ C,\ B,\ \ldots

Nie trzeba od razu znać wzoru. Czasem najpierw obserwujemy kilka kolejnych elementów.

Ciąg liczbowy bez stałej zależności

7, −2, 11, 47,\ -2,\ 11,\ 4

To też jest ciąg liczbowy: ma cztery wyrazy zapisane w ustalonej kolejności, mimo że nie widać tu stałej różnicy ani stałego ilorazu.

Najważniejsze oznaczenia

W zadaniach o ciągach często pojawia się kilka krótkich symboli. Warto je oswoić, bo później wzory stają się dużo bardziej czytelne.

Oznaczenia

Jak czytać symbole w ciągach?

ana_n

n-ty wyraz ciągu, na przykład a1a_1 to pierwszy wyraz, a2a_2 drugi, a a3a_3 trzeci.

an+1a_{n+1}

wyraz następny po ana_n.

an−1a_{n-1}

wyraz poprzedni przed ana_n.

nn

numer wyrazu, a przy sumie także liczba branych wyrazów.

rr

różnica ciągu arytmetycznego, czyli stała liczba dodawana do kolejnych wyrazów.

qq

iloraz ciągu geometrycznego, czyli stała liczba, przez którą mnożymy kolejne wyrazy.

SnS_n

suma n początkowych wyrazów ciągu, czyli a1+a2+…+ana_1+a_2+\ldots+a_n.

Ciąg arytmetyczny

W ciągu arytmetycznym różnica między kolejnymi wyrazami jest stała.

Definicja

Ciąg arytmetyczny

r=an+1−anr=a_{n+1}-a_n
an=a1+(n−1)ra_{\textcolor{#c2410c}{n}}=a_1+(\textcolor{#c2410c}{n}-1)r
Przykłady
3,7,11,15,19,…3,7,11,15,19,\ldots
a1=3,r=7−3=4a2=a1+(2−1)r=3+1⋅4=7a3=a1+(3−1)r=3+2⋅4=11a4=a1+(4−1)r=3+3⋅4=15\begin{aligned}a_1&=3,\quad r=7-3=4\\a_2&=a_1+(2-1)r=3+1\cdot4=7\\a_3&=a_1+(3-1)r=3+2\cdot4=11\\a_4&=a_1+(4-1)r=3+3\cdot4=15\end{aligned}

W ciągu arytmetycznym każdy następny wyraz powstaje przez dodanie tej samej liczby.

a1=5,r=3a_1=5,\quad r=3
a2=a1+(2−1)r=5+1⋅3=8a3=a1+(3−1)r=5+2⋅3=11a4=a1+(4−1)r=5+3⋅3=14a10=a1+(10−1)r=5+9⋅3=32\begin{aligned}a_2&=a_1+(2-1)r=5+1\cdot3=8\\a_3&=a_1+(3-1)r=5+2\cdot3=11\\a_4&=a_1+(4-1)r=5+3\cdot3=14\\a_{10}&=a_1+(10-1)r=5+9\cdot3=32\end{aligned}

Własność

Wyraz środkowy w ciągu arytmetycznym

Jeśli znamy wyraz poprzedni i następny, to wyraz środkowy jest ich średnią arytmetyczną.

an=an−1+an+12a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}
np.7, 11, 15⇒7+152=11\text{np.}\quad 7,\ \boxed{11},\ 15\quad \Rightarrow\quad \frac{7+15}{2}=11

Suma ciągu arytmetycznego

Wzór

Suma n początkowych wyrazów

Sn=a1+an2⋅nS_{\textcolor{#c2410c}{n}}=\frac{a_1+a_{\textcolor{#c2410c}{n}}}{2}\cdot \textcolor{#c2410c}{n}
Sn=2a1+(n−1)r2⋅nS_{\textcolor{#c2410c}{n}}=\frac{2a_1+(\textcolor{#c2410c}{n}-1)r}{2}\cdot \textcolor{#c2410c}{n}
Przykłady
1+2+3+…+100=1+1002⋅100=50501+2+3+\ldots+100=\frac{1+100}{2}\cdot100=5050

Ciąg geometryczny

W ciągu geometrycznym iloraz kolejnych wyrazów jest stały.

Definicja

Ciąg geometryczny

q=an+1anq=\frac{a_{n+1}}{a_n}
an=a1⋅qn−1a_{\textcolor{#c2410c}{n}}=a_1\cdot q^{\textcolor{#c2410c}{n}-1}
Przykłady
2,6,18,54,162,…2,6,18,54,162,\ldots
a1=2,q=62=3a2=a1⋅q2−1=2⋅31=6a3=a1⋅q3−1=2⋅32=18a4=a1⋅q4−1=2⋅33=54\begin{aligned}a_1&=2,\quad q=\frac{6}{2}=3\\a_2&=a_1\cdot q^{2-1}=2\cdot3^1=6\\a_3&=a_1\cdot q^{3-1}=2\cdot3^2=18\\a_4&=a_1\cdot q^{4-1}=2\cdot3^3=54\end{aligned}

W ciągu geometrycznym każdy następny wyraz powstaje przez pomnożenie przez tę samą liczbę.

a1=4,q=2a_1=4,\quad q=2
a2=a1⋅q2−1=4⋅21=8a3=a1⋅q3−1=4⋅22=16a4=a1⋅q4−1=4⋅23=32a6=a1⋅q6−1=4⋅25=128\begin{aligned}a_2&=a_1\cdot q^{2-1}=4\cdot2^1=8\\a_3&=a_1\cdot q^{3-1}=4\cdot2^2=16\\a_4&=a_1\cdot q^{4-1}=4\cdot2^3=32\\a_6&=a_1\cdot q^{6-1}=4\cdot2^5=128\end{aligned}

Własność

Wyraz środkowy w ciągu geometrycznym

Jeśli znamy wyraz poprzedni i następny dodatniego ciągu geometrycznego, to wyraz środkowy jest pierwiastkiem z ich iloczynu.

an2=an−1⋅an+1a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}
an=an−1⋅an+1a_n=\sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}}
np.3, 6, 12⇒3⋅12=36=6\text{np.}\quad 3,\ \boxed{6},\ 12\quad \Rightarrow\quad \sqrt{3\cdot12}=\sqrt{36}=6

Suma ciągu geometrycznego

Wzór

Suma n początkowych wyrazów

Sn=a11−qn1−q,q≠1S_{\textcolor{#c2410c}{n}}=a_1\frac{1-q^{\textcolor{#c2410c}{n}}}{1-q},\quad q\neq1
Przykłady
2+4+8+16=21−241−2=302+4+8+16=2\frac{1-2^4}{1-2}=30

Trening zadań

Ciągi — zadania

Wybierz poziom, rozwiąż zadanie samodzielnie, a później sprawdź odpowiedź lub pełne rozwiązanie.

Poziom: łatwy
Trudność
Wygenerowanełatwy

Kolejny wyraz ciągu arytmetycznego

Podaj kolejny wyraz ciągu: -5, -2, 1, …

Quiz

Sprawdź ciągi

1. Dla ciągu an=3na_n=3n wyraz a4a_4 wynosi:

2. Ciąg 2,5,8,11,…2,5,8,11,\ldots jest:

3. W ciągu arytmetycznym a1=4, r=5a_1=4,\ r=5. Ile wynosi a6a_6?

4. Ciąg 3,6,12,24,…3,6,12,24,\ldots ma iloraz:

5. Dla ciągu geometrycznego a1=2, q=3a_1=2,\ q=3, a4a_4 wynosi:

6. Suma 1+2+3+…+101+2+3+\ldots+10 wynosi: