Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Trygonometria

Sinus, cosinus, tangens, trójkąt prostokątny, okrąg jednostkowy i wykresy funkcji trygonometrycznych.

Przejdź do zadańPrzejdź do quizuZagraj w dziale Gry

Trygonometria

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

Dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym sinus, cosinus i tangens opisują stosunki długości boków.

αabc

Definicja

Definicje dla kąta ostrego

Przyjmijmy, że a\textcolor{#0f766e}{a} oznacza przyprostokątną przy kącie, b\textcolor{#dc2626}{b} przyprostokątną naprzeciw kąta, a c\textcolor{#d97706}{c} przeciwprostokątną.

sin⁡α=bc\sin\alpha=\frac{\textcolor{#dc2626}{b}}{\textcolor{#d97706}{c}}
cos⁡α=ac\cos\alpha=\frac{\textcolor{#0f766e}{a}}{\textcolor{#d97706}{c}}
tg⁡α=ba\tg\alpha=\frac{\textcolor{#dc2626}{b}}{\textcolor{#0f766e}{a}}

Sinus

sin⁡α=bc\sin\alpha=\frac{\textcolor{#dc2626}{b}}{\textcolor{#d97706}{c}}

Sinus kąta to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej.

Cosinus

cos⁡α=ac\cos\alpha=\frac{\textcolor{#0f766e}{a}}{\textcolor{#d97706}{c}}

Cosinus kąta to stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie do przeciwprostokątnej.

Tangens

tg⁡α=ba\tg\alpha=\frac{\textcolor{#dc2626}{b}}{\textcolor{#0f766e}{a}}

Tangens kąta to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przyprostokątnej przy kącie.

Przejdź do quizu
Przykłady
naprzeciw=3,przy=4,przeciwprostokątna=5\text{naprzeciw}=3,\quad \text{przy}=4,\quad \text{przeciwprostokątna}=5
sin⁡α=35,cos⁡α=45,tg⁡α=34\sin\alpha=\frac35,\quad \cos\alpha=\frac45,\quad \tg\alpha=\frac34

Najważniejsze wartości

Tabela

Wartości dla kątów 0°, 30°, 45°, 60°, 90°

Funkcja0∘0^\circ30∘30^\circ45∘45^\circ60∘60^\circ90∘90^\circ
sin⁡α\sin\alpha0012\frac{1}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}32\frac{\sqrt{3}}{2}11
cos⁡α\cos\alpha1132\frac{\sqrt{3}}{2}22\frac{\sqrt{2}}{2}12\frac{1}{2}00
tg⁡α\tg\alpha0033\frac{\sqrt{3}}{3}113\sqrt{3}nie istnieje

Radiany i stopnie

Stopnie i radiany to dwa sposoby mierzenia tego samego kąta. Stopnie dzielą pełny obrót na 360∘360^\circ części, a radiany opisują kąt przez długość łuku na okręgu.

Interpretacja

Dlaczego π radianów to 180°?

Dla okręgu o promieniu rr długość całego obwodu wynosi 2πr2\pi r. Miara kąta w radianach to stosunek długości łuku do promienia.

pełny obroˊt=2πrr=2π rad\text{pełny obrót}=\frac{2\pi r}{r}=2\pi\ \text{rad}
360∘=2π rad360^\circ=2\pi\ \text{rad}
180∘=π rad180^\circ=\pi\ \text{rad}

Dlatego zapis π\pi przy kątach oznacza pół obrotu, czyli 180∘180^\circ. Analogicznie 2π2\pi to pełny obrót, czyli 360∘360^\circ.

Wzory

Zamiana stopni na radiany i radianów na stopnie

αrad=α∘⋅π180∘\alpha_{\text{rad}}=\alpha^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}
α∘=αrad⋅180∘π\alpha^\circ=\alpha_{\text{rad}}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}
StopnieRadiany
0∘0^\circ00
30∘30^\circπ6\frac{\pi}{6}
45∘45^\circπ4\frac{\pi}{4}
60∘60^\circπ3\frac{\pi}{3}
90∘90^\circπ2\frac{\pi}{2}
180∘180^\circπ\pi
270∘270^\circ3π2\frac{3\pi}{2}
360∘360^\circ2π2\pi
Przykłady zamiany
60∘=60⋅π180=π360^\circ=60\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{3}

Skracamy ułamek 60/180 do 1/3.

3π4 rad=3π4⋅180∘π=135∘\frac{3\pi}{4}\ \text{rad}=\frac{3\pi}{4}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=135^\circ

Pi się skraca, zostaje przeliczenie 3 · 180° / 4.

270∘=270⋅π180=3π2270^\circ=270\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{3\pi}{2}

To trzy czwarte pełnego obrotu.

Podstawowe tożsamości

Wzory

Zależności między funkcjami trygonometrycznymi

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1
tg⁡α=sin⁡αcos⁡α,cos⁡α≠0\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\quad \cos\alpha\neq0
Przykłady
sin⁡α=35,cos⁡α=45\sin\alpha=\frac35,\quad \cos\alpha=\frac45
(35)2+(45)2=925+1625=1\left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2=\frac9{25}+\frac{16}{25}=1
sin⁡α=12,cos⁡α=32\sin\alpha=\frac12,\quad \cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}
tg⁡α=1232=33\tg\alpha=\frac{\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{\sqrt3}{3}

Wykresy funkcji trygonometrycznych

Wykresy sinusa i cosinusa są okresowe. Tangens także jest okresowy, ale ma przerwy tam, gdzie cosinus jest równy zero.

Wykres funkcji y=sin x.Wykres funkcji y=cos x.Wykres funkcji y=tg x z asymptotami.

Własności

Okresowość

sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x+2\pi)=\sin x
cos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x+2\pi)=\cos x
tg⁡(x+π)=tg⁡x\tg(x+\pi)=\tg x

Trening zadań

Trygonometria — zadania

Wybierz poziom, rozwiąż zadanie samodzielnie, a później sprawdź odpowiedź lub pełne rozwiązanie.

Poziom: łatwy
Trudność
Wygenerowanełatwy

Sinus kąta ostrego

W trójkącie prostokątnym przyprostokątna naprzeciw kąta α ma długość 3, a przeciwprostokątna 5. Oblicz sin α.

Quiz

Sprawdź trygonometrię

Odpowiedz na 11 pytań o definicje, wartości, tożsamości i wykresy.

1. W trójkącie prostokątnym sin⁡α\sin\alpha to:

2. Z rysunku odczytaj wartość sin⁡α\sin\alpha.

Trójkąt prostokątny z kątem alfa, bokiem przy kącie 4, bokiem naprzeciw kąta 3 i przeciwprostokątną 5.

3. Z rysunku odczytaj wartość cos⁡α\cos\alpha.

Trójkąt prostokątny z kątem alfa, bokiem przy kącie 12, bokiem naprzeciw kąta 5 i przeciwprostokątną 13.

4. Z rysunku odczytaj wartość tg⁡α\tg\alpha.

Trójkąt prostokątny z kątem alfa, bokiem przy kącie 6, bokiem naprzeciw kąta 8 i przeciwprostokątną 10.

5. Dla trójkąta 3-4-5, gdy bok naprzeciw kąta ma długość 3, cos⁡α\cos\alpha wynosi:

6. Ile wynosi sin⁡30∘\sin30^\circ?

7. Ile wynosi cos⁡60∘\cos60^\circ?

8. Która tożsamość jest zawsze prawdziwa?

9. Ile wynosi tg⁡90∘\tg90^\circ?

10. Okres funkcji sin⁡x\sin x wynosi:

11. Który wzór opisuje tangens?