Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Planimetria

Figury płaskie, pola, obwody, twierdzenie Pitagorasa, koło i okrąg.

Przejdź do zadańPrzejdź do quizuZagraj w dziale Gry

Planimetria

Figury płaskie

Planimetria zajmuje się figurami na płaszczyźnie: ich bokami, kątami, obwodami, polami i zależnościami między elementami figury.

Definicja

Pole i obwód

obwoˊd=suma długosˊci bokoˊw\text{obwód}=\text{suma długości boków}
pole=miara powierzchni figury\text{pole}=\text{miara powierzchni figury}

Przy obliczeniach najpierw ustal, które długości są bokami, które są wysokościami, a które są przekątnymi. Na rysunkach wysokości zaznaczamy linią przerywaną.

Przejdź do quizu

Trójkąt

W trójkącie wysokość jest odcinkiem poprowadzonym z wierzchołka prostopadle do przeciwległego boku albo jego przedłużenia.

TrójkątTrójkąt z bokami a, b, c, wysokością h a i kątem gamma.γabchₐ

Wzory

Różne wzory na pole trójkąta

P=a⋅ha2P=\frac{a\cdot h_a}{2}
P=12absin⁡γP=\frac{1}{2}ab\sin\gamma
p=a+b+c2,P=p(p−a)(p−b)(p−c)p=\frac{a+b+c}{2},\quad P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
P=p⋅rP=p\cdot r
P=abc4RP=\frac{abc}{4R}

W tych wzorach pp oznacza połowę obwodu, rr promień okręgu wpisanego, a RR promień okręgu opisanego.

Przykłady

Podstawa i wysokość

a=10,ha=6a=10,\quad h_a=6
P=10⋅62=30P=\frac{10\cdot6}{2}=30
Podstawa i wysokośćTrójkąt o podstawie 10 i wysokości 6.10hₐ = 6

Dwa boki i kąt między nimi

a=8,b=5,γ=30∘a=8,\quad b=5,\quad \gamma=30^\circ
P=12⋅8⋅5⋅12=10P=\frac12\cdot8\cdot5\cdot\frac12=10
Dwa boki i kątTrójkąt z bokami 8 i 5 oraz kątem 30 stopni między nimi.30°85

Wzór Herona

a=5,b=6,c=7,p=9a=5,\quad b=6,\quad c=7,\quad p=9
P=9⋅4⋅3⋅2=66P=\sqrt{9\cdot4\cdot3\cdot2}=6\sqrt6
Wzór HeronaTrójkąt o bokach 5, 6 i 7 oraz połowie obwodu równej 9.765p = 9

Promień okręgu wpisanego

a=13,b=14,c=15,r=4a=13,\quad b=14,\quad c=15,\quad r=4
p=13+14+152=21,P=p⋅r=21⋅4=84p=\frac{13+14+15}{2}=21,\quad P=p\cdot r=21\cdot4=84
Okrąg wpisanyTrójkąt o bokach 13, 14 i 15 z okręgiem wpisanym o promieniu 4.141315r = 4p = 21

Promień okręgu opisanego

a=3,b=4,c=5,R=52a=3,\quad b=4,\quad c=5,\quad R=\frac52
P=3⋅4⋅54⋅52=6P=\frac{3\cdot4\cdot5}{4\cdot\frac52}=6
Okrąg opisanyTrójkąt prostokątny o bokach 3, 4 i 5 wpisany w okrąg.435R = 5/2

Trójkąt równoboczny

Trójkąt równoboczny ma trzy równe boki i trzy równe kąty. Każdy kąt ma miarę 60∘60^\circ.

Trójkąt równobocznyTrójkąt równoboczny z wysokością i trzema kątami po 60 stopni.60°60°60°aaah

Własności

Najważniejsze zależności

  • Wszystkie boki mają tę samą długość.
  • Wysokość, środkowa, dwusieczna kąta i symetralna boku pokrywają się.
  • Wysokość dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne 30°-60°-90°.
  • Środki okręgu wpisanego i opisanego leżą na wysokości, a ich promienie spełniają zależność R=2rR=2r.
h=a32h=\frac{a\sqrt3}{2}
P=a234P=\frac{a^2\sqrt3}{4}
O=3aO=3a
R=23h=a33R=\frac{2}{3}h=\frac{a\sqrt3}{3}
r=13h=a36r=\frac{1}{3}h=\frac{a\sqrt3}{6}
Przykłady
a=6a=6
h=33,P=93,O=18,R=633=23,r=636=3\begin{aligned}h&=3\sqrt3,\quad P=9\sqrt3,\quad O=18,\\R&=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3,\quad r=\frac{6\sqrt3}{6}=\sqrt3\end{aligned}
Przykład trójkąta równobocznegoTrójkąt równoboczny o boku 6 z wysokością oraz okręgami wpisanym i opisanym.6

Trójkąt prostokątny i twierdzenie Pitagorasa

Trójkąt prostokątny ma jeden kąt prosty. Boki przy kącie prostym to przyprostokątne, a najdłuższy bok naprzeciw kąta prostego to przeciwprostokątna.

Trójkąt prostokątnyTrójkąt prostokątny z przyprostokątnymi a i b oraz przeciwprostokątną c.abc

Twierdzenie i wzory

Twierdzenie Pitagorasa i promienie okręgów

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2
P=ab2P=\frac{ab}{2}
R=c2R=\frac{c}{2}
r=a+b−c2r=\frac{a+b-c}{2}

W trójkącie prostokątnym cc oznacza przeciwprostokątną. To właśnie bok leżący naprzeciw kąta prostego. Jest on średnicą okręgu opisanego, dlatego jego promień to połowa przeciwprostokątnej.

Symbol RR oznacza promień okręgu opisanego, a rrpromień okręgu wpisanego.

Przykłady
a=3,b=4,c=5a=3,\quad b=4,\quad c=5
32+42=52,R=52,r=3+4−52=13^2+4^2=5^2,\quad R=\frac52,\quad r=\frac{3+4-5}{2}=1

Trójkąt 3-4-5 jest prostokątny.

Przykład trójkąta 3-4-5Trójkąt prostokątny o bokach 3, 4 i 5 z okręgami wpisanym i opisanym.435
a=5,b=12,c=13a=5,\quad b=12,\quad c=13
52+122=132,R=132,r=5+12−132=25^2+12^2=13^2,\quad R=\frac{13}{2},\quad r=\frac{5+12-13}{2}=2

Trójkąt 5-12-13 jest prostokątny.

Przykład trójkąta 5-12-13Trójkąt prostokątny o bokach 5, 12 i 13 z okręgami wpisanym i opisanym.12513

Prostokąt

Prostokąt ma cztery kąty proste, a przeciwległe boki są równe i równoległe.

ProstokątProstokąt z bokami a i b oraz czterema kątami prostymi.ab

Wzory

Pole i obwód prostokąta

P=a⋅bP=a\cdot b
O=2a+2b=2(a+b)O=2a+2b=2(a+b)
d=a2+b2d=\sqrt{a^2+b^2}
Przykłady
a=8,b=5a=8,\quad b=5
P=8⋅5=40,O=2(8+5)=26P=8\cdot5=40,\quad O=2(8+5)=26
Przykład prostokątaProstokąt o bokach 8 i 5.85

Równoległobok

Równoległobok ma dwie pary boków równoległych. Wysokość zawsze opuszczamy prostopadle na wybraną podstawę.

RównoległobokRównoległobok z podstawą a, bokiem b, wysokością i kątem alfa.αabhₐ

Wzory

Pole i obwód równoległoboku

P=a⋅haP=a\cdot h_a
P=b⋅hbP=b\cdot h_b
P=absin⁡αP=ab\sin\alpha
O=2a+2b=2(a+b)O=2a+2b=2(a+b)

Wzór P=absin⁡αP=ab\sin\alpha jest wygodny, gdy znamy dwa sąsiednie boki i kąt między nimi.

Przykłady
a=9,ha=4a=9,\quad h_a=4
P=9⋅4=36P=9\cdot4=36
Podstawa i wysokość równoległobokuRównoległobok o podstawie 9 i wysokości 4.9h = 4
a=6,b=5,α=30∘a=6,\quad b=5,\quad \alpha=30^\circ
P=6⋅5⋅12=15P=6\cdot5\cdot\frac12=15
Boki i kąt równoległobokuRównoległobok o bokach 6 i 5 oraz kącie 30 stopni.30°65

Trapez

Trapez ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Te równoległe boki nazywamy podstawami.

TrapezTrapez z podstawami a i b, ramionami c i d oraz wysokością h.abcdh

Wzory

Pole i obwód trapezu

P=(a+b)h2P=\frac{(a+b)h}{2}
O=a+b+c+dO=a+b+c+d

Wysokość trapezu to odległość między podstawami, czyli odcinek prostopadły do obu podstaw.

Przykłady
a=10,b=6,h=4a=10,\quad b=6,\quad h=4
P=(10+6)⋅42=32P=\frac{(10+6)\cdot4}{2}=32
Przykład trapezuTrapez o podstawach 10 i 6 oraz wysokości 4.106h = 4

Romb

Romb ma wszystkie boki równej długości. Jest szczególnym przypadkiem równoległoboku.

RombRomb z bokami a, wysokością h i prostopadłymi przekątnymi.aaaah

Wzory

Pole i obwód rombu

P=a⋅hP=a\cdot h
P=e⋅f2P=\frac{e\cdot f}{2}
P=a2sin⁡αP=a^2\sin\alpha
O=4aO=4a

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy.

Przykłady
e=8,f=5e=8,\quad f=5
P=8⋅52=20P=\frac{8\cdot5}{2}=20
Przekątne rombuRomb o przekątnych 8 i 5.85
a=7,h=4a=7,\quad h=4
P=7⋅4=28,O=28P=7\cdot4=28,\quad O=28
Bok i wysokość rombuRomb o boku 7 i wysokości 4.7h = 4

Deltoid

Deltoid ma dwie pary sąsiednich boków równej długości. Jego przekątne są prostopadłe.

DeltoidDeltoid z parami równych boków a i b oraz prostopadłymi przekątnymi e i f.aabbef

Wzory

Pole i obwód deltoidu

P=e⋅f2P=\frac{e\cdot f}{2}
O=2a+2b=2(a+b)O=2a+2b=2(a+b)

Wzór na pole deltoidu działa tak samo jak wzór na pole rombu z przekątnych.

Przykłady
e=12,f=7e=12,\quad f=7
P=12⋅72=42P=\frac{12\cdot7}{2}=42
Przekątne deltoiduDeltoid o przekątnych 12 i 7.127
a=5,b=8a=5,\quad b=8
O=2(5+8)=26O=2(5+8)=26
Boki deltoiduDeltoid z parami sąsiednich boków długości 5 i 8.5588

Koło i okrąg

Okrąg to sama linia złożona z punktów równo odległych od środka. Koło to okrąg razem z jego wnętrzem.

Koło i okrągKoło ze środkiem O, promieniem r i zaznaczoną średnicą.rOokrągkoło

Wzory

Długość okręgu i pole koła

d=2rd=2r
L=2πr=πdL=2\pi r=\pi d
P=πr2P=\pi r^2
Przykłady
r=3r=3
d=6,L=6π,P=9πd=6,\quad L=6\pi,\quad P=9\pi
Koło o promieniu 3Koło o promieniu 3 i średnicy 6.r = 3
d=10d=10
r=5,L=10π,P=25πr=5,\quad L=10\pi,\quad P=25\pi
Koło o średnicy 10Koło o średnicy 10 i promieniu 5.r = 5

Trening zadań

Planimetria — zadania

Wybierz poziom, rozwiąż zadanie samodzielnie, a później sprawdź odpowiedź lub pełne rozwiązanie.

Poziom: łatwy
Trudność
Wygenerowanełatwy

Pole i obwód prostokąta

Prostokąt ma boki 7 cm i 12 cm. Oblicz jego pole i obwód.

Quiz

Sprawdź planimetrię

1. Pole trójkąta o podstawie 10 i wysokości 6 wynosi:

2. Twierdzenie Pitagorasa ma postać:

3. Pole trapezu o podstawach 8 i 4 oraz wysokości 5 wynosi:

4. Pole koła o promieniu 4 wynosi:

5. Długość okręgu o promieniu 5 wynosi: