Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Stereometria

Graniastosłupy, ostrosłupy, walce, stożki, kule, objętości i pola powierzchni.

Przejdź do quizuZagraj w dziale Gry

Stereometria

Bryły przestrzenne

Stereometria opisuje figury w przestrzeni: graniastosłupy, ostrosłupy, walce, stożki i kule.

SześcianOstrosłupWalecStożekKula

Definicja

Objętość i pole powierzchni

V=objętosˊcˊ bryłyV=\text{objętość bryły}
Pc=pole powierzchni całkowitejP_c=\text{pole powierzchni całkowitej}
Przejdź do quizu

Graniastosłupy

Wzory

Graniastosłup prosty

V=Pp⋅HV=P_p\cdot H
Pc=2Pp+PbP_c=2P_p+P_b

PpP_p to pole podstawy, PbP_b to pole powierzchni bocznej, a HH to wysokość bryły.

Graniastosłup prawidłowy trójkątny

Graniastosłup prawidłowy trójkątny

Przeciągnij, aby obrócić bryłę. Przybliż widok kółkiem myszy lub gestem.

a - krawędź podstawy

H - wysokość graniastosłupa

Wzory

Pp=a234,Pb=3aHP_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4},\qquad P_b=3aH
V=a234⋅HV=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H
Pc=a232+3aHP_c=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}+3aH
Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Przeciągnij, aby obrócić bryłę. Przybliż widok kółkiem myszy lub gestem.

a - krawędź podstawy

H - wysokość graniastosłupa

Wzory

Pp=a2,Pb=4aHP_p=a^2,\qquad P_b=4aH
V=a2HV=a^2H
Pc=2a2+4aHP_c=2a^2+4aH
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny

Przeciągnij, aby obrócić bryłę. Przybliż widok kółkiem myszy lub gestem.

a - krawędź podstawy

H - wysokość graniastosłupa

Wzory

Pp=332a2,Pb=6aHP_p=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2,\qquad P_b=6aH
V=332a2HV=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2H
Pc=33a2+6aHP_c=3\sqrt{3}a^2+6aH
Przykłady
Pp=12,H=5P_p=12,\quad H=5
V=12⋅5=60V=12\cdot5=60
Przykład objętości graniastosłupaGraniastosłup o polu podstawy 12 i wysokości 5.Pₚ = 12H = 5
szesˊcian: V=a3,Pc=6a2\text{sześcian: }V=a^3,\quad P_c=6a^2
SześcianSześcian o krawędzi a.a

Trening zadań

Graniastosłupy

Ćwicz objętość, pole powierzchni, wysokość i przekątne graniastosłupów. Wysokość jest wyróżniona bezpośrednio na odpowiedniej krawędzi bocznej.

Poziom: łatwy
Źródło
Trudność
Wygenerowanełatwy

Pole podstawy i wysokość

Pole podstawy graniastosłupa prostego wynosi 45 cm², a jego wysokość 6 cm. Oblicz objętość bryły.

Ostrosłupy

Wzór

Objętość ostrosłupa

V=13Pp⋅HV=\frac{1}{3}P_p\cdot H
Ostrosłup prawidłowy trójkątny

Ostrosłup prawidłowy trójkątny

Przeciągnij, aby obrócić bryłę. Przybliż widok kółkiem myszy lub gestem.

a - krawędź podstawy

H - wysokość ostrosłupa

l - wysokość ściany bocznej

Wzory

Pp=a234,Pb=3al2P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4},\qquad P_b=\frac{3al}{2}
V=a2312⋅HV=\frac{a^2\sqrt{3}}{12}\cdot H
Pc=a234+3al2P_c=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+\frac{3al}{2}
Ostrosłup prawidłowy czworokątny

Ostrosłup prawidłowy czworokątny

Przeciągnij, aby obrócić bryłę. Przybliż widok kółkiem myszy lub gestem.

a - krawędź podstawy

H - wysokość ostrosłupa

l - wysokość ściany bocznej

Wzory

Pp=a2,Pb=2alP_p=a^2,\qquad P_b=2al
V=13a2HV=\frac{1}{3}a^2H
Pc=a2+2alP_c=a^2+2al
Ostrosłup prawidłowy sześciokątny

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny

Przeciągnij, aby obrócić bryłę. Przybliż widok kółkiem myszy lub gestem.

a - krawędź podstawy

H - wysokość ostrosłupa

l - wysokość ściany bocznej

Wzory

Pp=332a2,Pb=3alP_p=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2,\qquad P_b=3al
V=32a2HV=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2H
Pc=332a2+3alP_c=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2+3al
Przykłady
Pp=18,H=10P_p=18,\quad H=10
V=13⋅18⋅10=60V=\frac13\cdot18\cdot10=60
Przykład objętości ostrosłupaOstrosłup o polu podstawy 18 i wysokości 10.H = 10Pₚ = 18

Trening zadań

Ostrosłupy

Losuj własne warianty albo przełącz się na zadania z arkuszy CKE. Wysokość jest prowadzona osobno wewnątrz bryły, aby nie zlewała się z krawędzią boczną.

Poziom: łatwy
Źródło
Trudność
Wygenerowanełatwy

Pole podstawy i wysokość

Pole podstawy ostrosłupa wynosi 27 cm², a jego wysokość 8 cm. Oblicz objętość bryły.

Walec, stożek i kula

Walec

Walec

Przeciągnij, aby obrócić bryłę. Przybliż widok kółkiem myszy lub gestem.

r - promień podstawy

H - wysokość walca

Wzory

Pp=πr2,Pb=2πrHP_p=\pi r^2,\qquad P_b=2\pi rH
V=πr2HV=\pi r^2H
Pc=2πr2+2πrHP_c=2\pi r^2+2\pi rH
Stożek

Stożek

Przeciągnij, aby obrócić bryłę. Przybliż widok kółkiem myszy lub gestem.

r - promień podstawy

H - wysokość stożka

l - tworząca stożka

Wzory

Pp=πr2,Pb=πrlP_p=\pi r^2,\qquad P_b=\pi rl
V=13πr2HV=\frac{1}{3}\pi r^2H
Pc=πr2+πrlP_c=\pi r^2+\pi rl
Kula

Kula

Przeciągnij, aby obrócić bryłę. Przybliż widok kółkiem myszy lub gestem.

r - promień kuli

Wzory

V=43πr3V=\frac{4}{3}\pi r^3
P=4πr2P=4\pi r^2
Przykłady
walec: r=3, H=5\text{walec: }r=3,\ H=5
V=π⋅32⋅5=45πV=\pi\cdot3^2\cdot5=45\pi
Przykład objętości walcaWalec o promieniu 3 i wysokości 5.r = 3H = 5
kula: r=2\text{kula: }r=2
V=43π⋅8=323π,P=16πV=\frac43\pi\cdot8=\frac{32}{3}\pi,\quad P=16\pi
Przykład kuliKula o promieniu 2.r = 2

Trening zadań

Walec — trening

Wybierz bryłę, poziom trudności i źródło. Wysokość jest oznaczona zgodnie z konstrukcją danej bryły: na boku walca albo wewnątrz stożka.

Poziom: łatwy
Bryła
Źródło
Trudność
Wygenerowanełatwy

Objętość walca

Walec ma promień podstawy 4 cm i wysokość 6 cm. Oblicz jego objętość.

Quiz

Sprawdź stereometrię

1. Objętość graniastosłupa o Pp=10P_p=10 i H=7H=7 wynosi:

2. Objętość ostrosłupa o Pp=12P_p=12 i H=9H=9 wynosi:

3. Objętość walca to:

4. Objętość stożka to:

5. Pole powierzchni kuli o promieniu 3 wynosi: