Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Geometria analityczna

Punkty w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, prosta i okrąg.

Przejdź do zadańPrzejdź do quizuZagraj w dziale Gry

Geometria analityczna

Punkty w układzie współrzędnych

Geometria analityczna opisuje figury za pomocą współrzędnych, równań i wzorów algebraicznych.

Punkty w układzie współrzędnychA=(-3,-2) oraz B=(3,2)-4-224-4-224xyA=(-3,-2)B=(3,2)

Definicja

Punkt w układzie współrzędnych

P=(x,y)P=(x,y)

Pierwsza współrzędna to xx, druga to yy.

Położenie punktu P=(3,2)P=(3,2)-2-112345-2-11234xyP=(3,2)
Przejdź do quizu

Odległość dwóch punktów

Wzór

Długość odcinka AB

∣AB∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}
Odległość dwóch punktówOdcinek między punktami A i B z zaznaczonymi różnicami współrzędnych.-4-224-4-224xyxB − xAyB − yAA=(xA,yA)B=(xB,yB)
Przykłady
A=(1,2),B=(4,6)A=(1,2),\quad B=(4,6)
∣AB∣=(4−1)2+(6−2)2=9+16=5|AB|=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=5
Odległość dwóch punktówOdcinek między punktami A=(1,2) i B=(4,6) z zaznaczonymi różnicami współrzędnych.123451234567xy34A=(1,2)B=(4,6)
A=(−2,1),B=(2,4)A=(-2,1),\quad B=(2,4)
∣AB∣=42+32=5|AB|=\sqrt{4^2+3^2}=5
Odległość dwóch punktówOdcinek między punktami A=(-2,1) i B=(2,4) z zaznaczonymi różnicami współrzędnych.-3-2-112312345xy43A=(-2,1)B=(2,4)

Środek odcinka

Wzór

Współrzędne środka odcinka

S=(xA+xB2,yA+yB2)S=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)
Środek odcinkaPunkt S dzieli odcinek AB na dwie równe części.-4-224-4-224xyASB
Przykłady
A=(2,4),B=(8,10)A=(2,4),\quad B=(8,10)
S=(2+82,4+102)=(5,7)S=\left(\frac{2+8}{2},\frac{4+10}{2}\right)=(5,7)
Środek odcinkaPunkt S=(5,7) dzieli odcinek AB na dwie równe części.24681024681012xyA=(2,4)S=(5,7)B=(8,10)

Prosta w układzie współrzędnych

Wzory

Równanie prostej i współczynnik kierunkowy

y=ax+by=ax+b
a=yB−yAxB−xAa=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}
Prosta w układzie współrzędnychWykres prostej y=ax+b przechodzącej przez A i B.-4-3-2-11234-3-2-11234xyAB
Przykłady
A=(1,3),B=(4,9)A=(1,3),\quad B=(4,9)
a=9−34−1=2,Podstawiamy punkt A=(1,3):3=2⋅1+b⇒b=1,y=2x+1\begin{aligned}a&=\frac{9-3}{4-1}=2,\\ \text{Podstawiamy punkt }A=(1,3):\quad 3&=2\cdot1+b\Rightarrow b=1,\\ y&=2x+1\end{aligned}
Prosta w układzie współrzędnychWykres prostej y=2x+1 przechodzącej przez A=(1,3) i B=(4,9).24246810xyA=(1,3)B=(4,9)
y=2x+1y=2x+1

Prosta przecina oś Y w punkcie (0,1).

Prosta w układzie współrzędnychWykres prostej y=2x+1 przechodzącej przez P=(0,1).-224-4-22468xyP=(0,1)

Okrąg

Wzór

Równanie okręgu

(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Środek okręgu to S=(a,b)S=(a,b), a promień to rr.

Okrąg w układzie współrzędnychOkrąg (x−a)²+(y−b)²=r² o środku S=(a,b) i promieniu 2.5.-3-2-112345-4-3-2-1123xyrS=(a,b)
Przykłady
(x−2)2+(y+1)2=9(x-2)^2+(y+1)^2=9
S=(2,−1),r=3S=(2,-1),\quad r=3
Okrąg w układzie współrzędnychOkrąg (x−2)²+(y+1)²=9 o środku S=(2,-1) i promieniu 3.-2-1123456-5-4-3-2-1123xy3S=(2,-1)
x2+y2=16x^2+y^2=16
S=(0,0),r=4S=(0,0),\quad r=4
Okrąg w układzie współrzędnychOkrąg x²+y²=16 o środku S=(0,0) i promieniu 4.-4-224-4-224xy4S=(0,0)

Trening zadań

Geometria analityczna — zadania

Wybierz poziom, rozwiąż zadanie samodzielnie, a później sprawdź odpowiedź lub pełne rozwiązanie.

Poziom: łatwy
Trudność
Wygenerowanełatwy

Środek odcinka

Wyznacz środek odcinka o końcach A = (2, -4) i B = (8, 6).

Quiz

Sprawdź geometrię analityczną

1. Odległość punktów A=(1,2)A=(1,2) i B=(4,6)B=(4,6) wynosi:

2. Środek odcinka o końcach A=(2,4)A=(2,4) i B=(8,10)B=(8,10) to:

3. W równaniu (x−2)2+(y+1)2=9(x-2)^2+(y+1)^2=9 promień wynosi:

4. Środek okręgu (x−2)2+(y+1)2=9(x-2)^2+(y+1)^2=9 to:

5. Współczynnik kierunkowy prostej przez A=(1,3)A=(1,3) i B=(4,9)B=(4,9) wynosi: