Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Funkcje. Wykresy

Dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność i odczytywanie informacji z wykresu.

Przejdź do zadańPrzejdź do quizuZagraj w dziale Gry

Funkcje i wykresy

Czym jest funkcja?

Funkcja przyporządkowuje każdemu argumentowi dokładnie jedną wartość.

Definicja

Funkcja jako przyporządkowanie

f:X→Yf:X\to Y

Każdemu x∈Xx\in X funkcja przyporządkowuje dokładnie jedną wartość f(x)f(x).

Przejdź do quizu
Przykłady
f(x)=2x+1f(x)=2x+1
f(3)=2⋅3+1=7f(3)=2\cdot3+1=7
Wykres funkcji liniowej f(x)=2x+1 z zaznaczonym punktem (3,7).
g(x)=x2g(x)=x^2
g(−2)=4g(-2)=4
Wykres funkcji kwadratowej g(x)=x^2 z zaznaczonym punktem (-2,4).

Funkcja punktowa

h:{−2,0,1,3}→R,h(−2)=3, h(0)=1, h(1)=4, h(3)=2h:\{-2,0,1,3\}\to\mathbb{R},\quad h(-2)=3,\ h(0)=1,\ h(1)=4,\ h(3)=2
Wykres funkcji punktowej z czterema oddzielnymi punktami.

Argumentami funkcji nie muszą być wszystkie liczby z przedziału. Mogą to być pojedyncze elementy ustalonego zbioru.

Dziedzina i zbiór wartości

Definicje

Najważniejsze zbiory funkcji

Df=zbioˊr wszystkich argumentoˊwD_f=\text{zbiór wszystkich argumentów}
ZWf=zbioˊr wszystkich wartosˊci funkcjiZW_f=\text{zbiór wszystkich wartości funkcji}
Przykłady
f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}
Df=R∖{0}D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}
Wykres funkcji f(x)=1/x z zaznaczoną przerwą przy x=0.

Liczby 0 nie ma w dziedzinie, bo nie wolno dzielić przez zero.

f(x)=xf(x)=\sqrt{x}
Df=[0,+∞)D_f=[0,+\infty)
Wykres funkcji f(x)=sqrt(x) zaczynający się w punkcie (0,0).

Pod pierwiastkiem kwadratowym musi być liczba nieujemna.

Funkcja punktowa

f(−2)=3,f(0)=1,f(1)=4,f(3)=2f(-2)=3,\quad f(0)=1,\quad f(1)=4,\quad f(3)=2
Df={−2,0,1,3},ZWf={1,2,3,4}D_f=\{-2,0,1,3\},\quad ZW_f=\{1,2,3,4\}
Funkcja punktowa z wypisaną dziedziną i zbiorem wartości.

Dziedzina to zbiór argumentów, a zbiór wartości to wszystkie wyniki, które funkcja przyjmuje.

Odczytywanie z wykresu

Zasada

Punkt na wykresie funkcji

P=(x,y) lez˙y na wykresie⟺y=f(x)P=(x,y)\ \text{leży na wykresie}\quad \Longleftrightarrow \quad y=f(x)
Przykłady
P=(2,5),f(x)=2x+1P=(2,5),\quad f(x)=2x+1
f(2)=5f(2)=5
Punkt (2,5) leżący na wykresie funkcji f(x)=2x+1.

Punkt należy do wykresu, bo jego współrzędna y zgadza się z wartością funkcji.

P=(2,6),f(x)=2x+1P=(2,6),\quad f(x)=2x+1
f(2)=5≠6f(2)=5\neq6
Punkt (2,6) nieleżący na wykresie funkcji f(x)=2x+1.

Punkt nie należy do wykresu, bo dla x=2 funkcja przyjmuje wartość 5, a nie 6.

Miejsca zerowe i znak funkcji

Definicje

Miejsce zerowe

f(x)=0f(x)=0

Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi zero.

Przykłady
f(x)=x−3f(x)=x-3
x−3=0⇒x=3x-3=0\quad \Rightarrow \quad x=3
Wykres funkcji f(x)=x-3 z miejscem zerowym x=3.

Wykres przecina oś X w punkcie o argumencie 3.

g(x)=x2−4g(x)=x^2-4
x=−2 lub x=2x=-2\ \text{lub}\ x=2
Wykres funkcji g(x)=x^2-4 z miejscami zerowymi -2 i 2.

Funkcja ma dwa miejsca zerowe, bo wykres przecina oś X w dwóch punktach.

Monotoniczność

Definicje

Funkcja rosnąca, malejąca i stała

rosnąca: gdy x rosˊnie, f(x) rosˊnie\text{rosnąca: gdy }x\text{ rośnie, }f(x)\text{ rośnie}
malejąca: gdy x rosˊnie, f(x) maleje\text{malejąca: gdy }x\text{ rośnie, }f(x)\text{ maleje}
stała: wartosˊci funkcji się nie zmieniają\text{stała: wartości funkcji się nie zmieniają}
Przykłady
f(x)=2x+1f(x)=2x+1
Wykres funkcji rosnącej f(x)=2x+1.

Funkcja rosnąca: gdy przesuwamy się w prawo, wykres idzie w górę.

g(x)=−3x+4g(x)=-3x+4
Wykres funkcji malejącej g(x)=-3x+4.

Funkcja malejąca: gdy przesuwamy się w prawo, wykres idzie w dół.

h(x)=5h(x)=5
Wykres funkcji stałej h(x)=5.

Funkcja stała: wszystkie wartości są takie same.

Funkcja przedziałami: rośnie, potem jest stała, potem maleje

f(x)={x+4dla −4≤x≤−13dla −1<x≤2−x+5dla 2<x≤5f(x)=\begin{cases}x+4 & \text{dla } -4\le x\le -1\\3 & \text{dla } -1<x\le 2\\-x+5 & \text{dla } 2<x\le 5\end{cases}
rosˊnie na [−4,−1],jest stała na [−1,2],maleje na [2,5]\text{rośnie na }[-4,-1],\quad \text{jest stała na }[-1,2],\quad \text{maleje na }[2,5]
Wykres funkcji przedziałowej, która rośnie, potem jest stała, a potem maleje.

Taka funkcja nie musi mieć jednej monotoniczności na całej dziedzinie. Patrzymy osobno na kolejne przedziały.

Funkcja przedziałami: maleje, potem rośnie, potem jest stała

g(x)={−x−1dla −5≤x≤−212x+2dla −2<x≤23dla 2<x≤5g(x)=\begin{cases}-x-1 & \text{dla } -5\le x\le -2\\\frac{1}{2}x+2 & \text{dla } -2<x\le 2\\3 & \text{dla } 2<x\le 5\end{cases}
maleje na [−5,−2],rosˊnie na [−2,2],jest stała na [2,5]\text{maleje na }[-5,-2],\quad \text{rośnie na }[-2,2],\quad \text{jest stała na }[2,5]
Wykres funkcji przedziałowej, która maleje, potem rośnie, a potem jest stała.

Tu kolejność jest inna: najpierw wartości spadają, później rosną, a na końcu pozostają takie same.

Jak czytać znak funkcji i nierówności z wykresu?

Zasada

Położenie wykresu względem osi X

Jeśli wykres jest nad osią XX, to funkcja ma wartości dodatnie. Jeśli jest pod osią XX, to ma wartości ujemne. Punkty przecięcia z osią XX są miejscami zerowymi.

f(x)>0⟺wykres lez˙y nad osią Xf(x)>0\quad \Longleftrightarrow\quad \text{wykres leży nad osią }X
f(x)<0⟺wykres lez˙y pod osią Xf(x)<0\quad \Longleftrightarrow\quad \text{wykres leży pod osią }X
f(x)=0⟺wykres lez˙y na osi Xf(x)=0\quad \Longleftrightarrow\quad \text{wykres leży na osi }X

Nierówności z wykresu

Jak czytać na przykład f(x) ≥ 1?

Rysujesz lub wyobrażasz sobie poziomą prostą y=1y=1. Rozwiązaniem nierówności f(x)≥1f(x)\ge 1 są te argumenty, dla których wykres funkcji leży na tej prostej albo powyżej niej.

f(x)≥1⟺wykres jest na poziomie y=1 albo wyz˙ejf(x)\ge 1\quad \Longleftrightarrow\quad \text{wykres jest na poziomie }y=1\text{ albo wyżej}
f(x)<1⟺wykres jest poniz˙ej poziomu y=1f(x)<1\quad \Longleftrightarrow\quad \text{wykres jest poniżej poziomu }y=1
Przykłady

Wartości dodatnie między miejscami zerowymi

f(x)>0f(x)>0
f(x)>0dlax∈(−2,3)f(x)>0\quad \text{dla}\quad x\in(-2,3)
Wykres funkcji z zaznaczonym rozwiązaniem nierówności f(x)>0 na przedziale (-2,3).

Końców nie wpisujemy, bo w miejscach zerowych wartość funkcji wynosi 0, a nie jest dodatnia.

Nierówność nieostra dopuszcza punkty przecięcia

f(x)≤0f(x)\le 0
f(x)≤0dlax∈(−∞,−2]∪[3,+∞)f(x)\le 0\quad \text{dla}\quad x\in(-\infty,-2]\cup[3,+\infty)
Wykres funkcji z zaznaczonym rozwiązaniem nierówności f(x)<=0 na dwóch przedziałach.

Nawiasy kwadratowe pojawiają się dlatego, że znak ≤ pozwala wziąć także miejsca zerowe.

Odczytywanie poziomu y = 1

f(x)≥1f(x)\ge 1
f(x)≥1dlax∈[−1,4]f(x)\ge 1\quad \text{dla}\quad x\in[-1,4]
Wykres funkcji z prostą y=1 i zaznaczonym rozwiązaniem f(x)>=1.

Dla nierówności z liczbą po prawej stronie patrzymy względem poziomej prostej, a nie względem osi X.

Odczytywanie wykresów funkcji

W praktyce czytamy wykres w stałej kolejności: najpierw dziedzinę, potem zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność oraz przedziały, na których funkcja jest dodatnia albo ujemna.

Pełna kropka oznacza, że punkt należy do wykresu. Pusta kropka oznacza, że punkt jest wyłączony.

Przykład 1. Łamana z otwartym końcem

Łamana funkcji z końcem otwartym przy x=5.

Pusta kropka przy prawym końcu oznacza, że x = 5 nie należy do dziedziny.

Dziedzina

Df=[−5,5)D_f=[-5,5)

Zbiór wartości

ZWf=[−2,2]ZW_f=[-2,2]

Miejsca zerowe

x=−3lubx=3x=-3\quad \text{lub}\quad x=3

Monotoniczność

rosˊnie na [−5,−1],jest stała na [−1,1],maleje na [1,5)\text{rośnie na }[-5,-1],\quad \text{jest stała na }[-1,1],\quad \text{maleje na }[1,5)

Wartości dodatnie

f(x)>0dlax∈(−3,3)f(x)>0\quad \text{dla}\quad x\in(-3,3)

Wartości ujemne

f(x)<0dlax∈[−5,−3)∪(3,5)f(x)<0\quad \text{dla}\quad x\in[-5,-3)\cup(3,5)

Przykład nierówności

f(x)≥1dlax∈[−2,2]f(x)\ge 1\quad \text{dla}\quad x\in[-2,2]

Przykład 2. Funkcja ze skokiem

Funkcja z przeskokiem wartości w punkcie x=-2.

Przy x = -2 funkcja ma skok: pusta kropka nie należy do wykresu, a pełna kropka pokazuje właściwą wartość funkcji.

Dziedzina

Df=[−5,4]D_f=[-5,4]

Zbiór wartości

ZWf=[−1,3]ZW_f=[-1,3]

Miejsca zerowe

x=−3lubx=134x=-3\quad \text{lub}\quad x=\frac{13}{4}

Monotoniczność

maleje na [−5,−2) oraz [1,4],jest stała na [−2,1]\text{maleje na }[-5,-2)\text{ oraz }[1,4],\quad \text{jest stała na }[-2,1]

Wartości dodatnie

f(x)>0dlax∈[−5,−3)∪[−2,134)f(x)>0\quad \text{dla}\quad x\in[-5,-3)\cup[-2,\frac{13}{4})

Wartości ujemne

f(x)<0dlax∈(−3,−2)∪(134,4]f(x)<0\quad \text{dla}\quad x\in(-3,-2)\cup(\frac{13}{4},4]

Przykład nierówności

f(x)≥1dlax∈[−5,−4]∪[−2,52]f(x)\ge 1\quad \text{dla}\quad x\in[-5,-4]\cup[-2,\frac{5}{2}]

Przykład 3. Przedział otwarty po lewej stronie

Łamana funkcji z otwartym początkiem i zamkniętym końcem.

Dziedzina

Df=(−4,5]D_f=(-4,5]

Zbiór wartości

ZWf=[−2,4)ZW_f=[-2,4)

Miejsca zerowe

x=−2lubx=4x=-2\quad \text{lub}\quad x=4

Monotoniczność

maleje na (−4,−1],jest stała na [−1,2],rosˊnie na [2,5]\text{maleje na }(-4,-1],\quad \text{jest stała na }[-1,2],\quad \text{rośnie na }[2,5]

Wartości dodatnie

f(x)>0dlax∈(−4,−2)∪(4,5]f(x)>0\quad \text{dla}\quad x\in(-4,-2)\cup(4,5]

Wartości ujemne

f(x)<0dlax∈(−2,4)f(x)<0\quad \text{dla}\quad x\in(-2,4)

Przykład nierówności

f(x)≥1dlax∈(−4,−52]∪{5}f(x)\ge 1\quad \text{dla}\quad x\in(-4,-\frac{5}{2}]\cup\{5\}

Przykład 4. Fragment paraboli

Fragment paraboli z ramionami skierowanymi w górę.

Dziedzina

Df=[−3,3]D_f=[-3,3]

Zbiór wartości

ZWf=[−4,5]ZW_f=[-4,5]

Miejsca zerowe

x=−2lubx=2x=-2\quad \text{lub}\quad x=2

Monotoniczność

maleje na [−3,0],rosˊnie na [0,3]\text{maleje na }[-3,0],\quad \text{rośnie na }[0,3]

Wartości dodatnie

f(x)>0dlax∈[−3,−2)∪(2,3]f(x)>0\quad \text{dla}\quad x\in[-3,-2)\cup(2,3]

Wartości ujemne

f(x)<0dlax∈(−2,2)f(x)<0\quad \text{dla}\quad x\in(-2,2)

Przykład nierówności

f(x)≥1dlax∈[−3,−5]∪[5,3]f(x)\ge 1\quad \text{dla}\quad x\in[-3,-\sqrt{5}]\cup[\sqrt{5},3]

Przykład 5. Stałe fragmenty i skok wartości

Funkcja z fragmentami stałymi, malejącymi i skokiem w x=-1.

W punkcie x = -1 bierzemy pod uwagę pełną kropkę, czyli wartość f(-1)=2.

Dziedzina

Df=[−5,5]D_f=[-5,5]

Zbiór wartości

ZWf=[−1,2]ZW_f=[-1,2]

Miejsca zerowe

x=−2lubx=1x=-2\quad \text{lub}\quad x=1

Monotoniczność

jest stała na [−5,−3] oraz [2,5],maleje na [−3,−1) oraz [−1,2]\text{jest stała na }[-5,-3]\text{ oraz }[2,5],\quad \text{maleje na }[-3,-1)\text{ oraz }[-1,2]

Wartości dodatnie

f(x)>0dlax∈[−5,−2)∪[−1,1)f(x)>0\quad \text{dla}\quad x\in[-5,-2)\cup[-1,1)

Wartości ujemne

f(x)<0dlax∈(−2,−1)∪(1,5]f(x)<0\quad \text{dla}\quad x\in(-2,-1)\cup(1,5]

Przykład nierówności

f(x)≥1dlax∈[−5,−3]∪[−1,0]f(x)\ge 1\quad \text{dla}\quad x\in[-5,-3]\cup[-1,0]

Trening zadań

Funkcje i wykresy — zadania

Wybierz poziom, rozwiąż zadanie samodzielnie, a później sprawdź odpowiedź lub pełne rozwiązanie.

Poziom: łatwy
Trudność
Wygenerowanełatwy

Dziedzina funkcji wymiernej

Wyznacz dziedzinę funkcji.

f(x)=1x+3f(x)=\frac{1}{x+3}

Quiz

Sprawdź funkcje i wykresy

1. Z wykresu odczytaj rozwiązanie nierówności f(x)>0f(x)>0.

Wykres funkcji z wyróżnionym fragmentem, na którym f(x)>0.

2. Z wykresu odczytaj rozwiązanie nierówności f(x)≤0f(x)\le 0.

Wykres funkcji z wyróżnionymi fragmentami, na których f(x)<=0.

3. Na podstawie wykresu odczytaj rozwiązanie nierówności f(x)≥1f(x)\ge 1.

Wykres funkcji z prostą y=1 i wyróżnionym fragmentem spełniającym f(x)>=1.

4. Jaka jest dziedzina funkcji pokazanej na wykresie?

Łamana funkcji z pełnym początkiem przy x=-5 i pustym końcem przy x=5.

5. Jakie są miejsca zerowe funkcji z tego wykresu?

Łamana przecinająca oś X w dwóch punktach.

6. Na którym przedziale funkcja z wykresu jest stała?

Łamana z poziomym fragmentem od x=-1 do x=1.

7. Co oznacza skok widoczny przy argumencie x = -2?

Wykres funkcji ze skokiem w x=-2.

8. Dla funkcji f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} dziedzina to: