Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Wielomiany i wyrażenia algebraiczne

Działania na wielomianach, pierwiastki i rozkład na czynniki.

Przejdź do zadańPrzejdź do quizuZagraj w dziale Gry

Wielomiany i wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne składa się z liczb, liter oraz działań. Litery oznaczają liczby lub niewiadome.

Przykłady: 2x+32x+3,a2−5a+1a^2-5a+1,3(x−2)3(x-2),x+12\frac{x+1}{2}.

Definicja

Wyrazy podobne

3x+5x=8x3x+5x=8x

Wyrazy podobne mają tę samą część literową, dlatego można dodać lub odjąć ich współczynniki.

Przejdź do quizu
Przykłady
2x+3x−7x=−2x2x+3x-7x=-2x
4a2−6a+3a2+a=7a2−5a\textcolor{#2563eb}{4a^2}\textcolor{#dc2626}{-6a}+\textcolor{#2563eb}{3a^2}+\textcolor{#dc2626}{a}=7a^2-5a
2x+3y−x+5y=x+8y\textcolor{#2563eb}{2x}+\textcolor{#dc2626}{3y}\textcolor{#2563eb}{-x}+\textcolor{#dc2626}{5y}=x+8y

Działania na wyrażeniach

Zasady

Nawiasy i mnożenie

a(b+c)=ab+aca(b+c)=ab+ac
−(a+b)=−a−b-(a+b)=-a-b
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
Przykłady
3(x−2)=3x−63(x-2)=3x-6
−(2x−5)=−2x+5-(2x-5)=-2x+5
(x+2)(x+3)=x2+5x+6(x+2)(x+3)=x^2+5x+6

Wielomian

Definicja

Wielomian jednej zmiennej

W(x)=anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0

Stopień wielomianu to największa potęga zmiennej z niezerowym współczynnikiem.

Przykłady
W(x)=4x3−2x+7W(x)=4x^3-2x+7

Stopień wielomianu to 3.

P(x)=5x2−x+1P(x)=5x^2-x+1

Stopień wielomianu to 2.

Wartość wielomianu i pierwiastek

Definicja

Pierwiastek wielomianu

a jest pierwiastkiem wielomianu W⟺W(a)=0a\text{ jest pierwiastkiem wielomianu }W \quad \Longleftrightarrow \quad W(a)=0
Przykłady
W(x)=x2−4,W(2)=22−4=0W(x)=x^2-4,\quad W(2)=2^2-4=0

Liczba 2 jest pierwiastkiem.

P(x)=x3−1,P(1)=13−1=0P(x)=x^3-1,\quad P(1)=1^3-1=0

Liczba 1 jest pierwiastkiem.

Rozkład na czynniki

Metody

Najczęstsze sposoby rozkładania

ab+ac=a(b+c)ab+ac=a(b+c)

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias. Szukamy tego, co powtarza się w każdym składniku.

a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia, gdy widzimy różnicę dwóch kwadratów.

x2+px+q=(x−r1)(x−r2)x^2+px+q=(x-r_1)(x-r_2)

Dla trójmianu kwadratowego szukamy takich liczb, które są miejscami zerowymi albo pozwalają zapisać trójmian w postaci iloczynowej.

ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)

Grupujemy składniki parami, wyłączamy wspólne czynniki w grupach, a potem wyłączamy wspólny nawias. Ta metoda bardzo często przydaje się przy wielomianach trzeciego stopnia i wyższych.

Przykłady
3x2+6x=3x(x+2)3x^2+6x=3x(x+2)

Wyłączamy wspólny czynnik 3x przed nawias.

x2−9=(x−3)(x+3)x^2-9=(x-3)(x+3)

Zauważamy różnicę kwadratów: x² - 3².

x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2-5x+6=(x-2)(x-3)

Szukamy dwóch liczb, które pasują do postaci iloczynowej trójmianu.

x3+2x2+3x+6=x2(x+2)+3(x+2)=(x2+3)(x+2)x^3+2x^2+3x+6=x^2(x+2)+3(x+2)=(x^2+3)(x+2)

Grupujemy składniki parami: pierwsze dwa i ostatnie dwa. W obu grupach pojawia się ten sam nawias x + 2.

Trening zadań

Wielomiany i wyrażenia — zadania

Wybierz poziom, rozwiąż zadanie samodzielnie, a później sprawdź odpowiedź lub pełne rozwiązanie.

Poziom: łatwy
Trudność
Wygenerowanełatwy

Dodawanie i odejmowanie wielomianów

Uprość podane wyrażenie.

(3x2−2x+5)+(x2+4x−7)(3x^2-2x+5)+(x^2+4x-7)

Quiz

Sprawdź wielomiany i wyrażenia

1. Zredukuj 2x+5x−3x2x+5x-3x.

2. Rozwiń 3(x−2)3(x-2).

3. Rozwiń (x+2)(x+3)(x+2)(x+3).

4. Stopień wielomianu 4x5−2x3+x−14x^5-2x^3+x-1 to:

5. Czy 2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=x2−4W(x)=x^2-4?

6. Rozłóż x2−16x^2-16 na czynniki.