Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Funkcja kwadratowa

Parabola, miejsca zerowe, wyróżnik delta i postacie funkcji.

Przejdź do zadańPrzejdź do quizuZagraj w dziale Gry

Funkcja kwadratowa

Postać ogólna

Funkcja kwadratowa ma wykres będący parabolą.

Definicja

Funkcja kwadratowa

f(x)=ax2+bx+c,a≠0f(x)=ax^2+bx+c,\quad a\neq0

Jeśli a>0a>0, ramiona paraboli są skierowane w górę. Jeśli a<0a<0, w dół.

Przejdź do quizu
Przykłady
f(x)=2x2−3x+1f(x)=2x^2-3x+1
a=2,b=−3,c=1a=2,\quad b=-3,\quad c=1
Parabola funkcji f(x)=2x^2-3x+1 skierowana ramionami w górę.
f(x)=−x2+4f(x)=-x^2+4
a=−1,b=0,c=4a=-1,\quad b=0,\quad c=4
Parabola funkcji f(x)=-x^2+4 skierowana ramionami w dół.

Wyróżnik i miejsca zerowe

Wzory

Delta i pierwiastki trójmianu

Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac
  1. 1.Δ>0\Delta>0dwa miejsca zerowe:x1=−b−Δ2a,x2=−b+Δ2ax_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\quad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}
  2. 2.Δ=0\Delta=0jedno miejsce zerowe:x0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a}
  3. 3.Δ<0\Delta<0brak miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych
Przykłady
x2−5x+6=0x^2-5x+6=0
Δ=25−24=1,x1=2,x2=3\Delta=25-24=1,\quad x_1=2,\quad x_2=3
Parabola przecinająca oś X w punktach 2 i 3.
x2+2x+1=0x^2+2x+1=0
Δ=0,x0=−1\Delta=0,\quad x_0=-1
Parabola styczna do osi X w punkcie -1.
x2+1=0x^2+1=0
Δ=−4\Delta=-4
Parabola położona nad osią X, bez miejsc zerowych.

Brak miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych.

Wierzchołek paraboli

Wzór

Współrzędne wierzchołka

p=−b2a,q=f(p)p=-\frac{b}{2a},\quad q=f(p)
q=−Δ4aq=-\frac{\Delta}{4a}
W=(p,q)W=(p,q)
Przykłady
f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3
p=42=2,q=f(2)=−1,W=(2,−1)p=\frac{4}{2}=2,\quad q=f(2)=-1,\quad W=(2,-1)
Parabola funkcji f(x)=x^2-4x+3 z zaznaczonym wierzchołkiem W=(2,-1).

Postać kanoniczna i iloczynowa

Wzory

Inne postacie funkcji kwadratowej

f(x)=a(x−p)2+qf(x)=a(x-p)^2+q
f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

Uwaga

Gdy znasz wierzchołek paraboli, zwykle najwygodniej pracować na postaci kanonicznej, bo od razu widać punkt W=(p,q)W=(p,q).

Gdy znasz miejsca zerowe, często lepszym wyborem jest postać iloczynowa, ponieważ bezpośrednio pokazuje wartości x1x_1 i x2x_2.

Przykłady
f(x)=(x−2)2−1f(x)=(x-2)^2-1
Parabola w postaci kanonicznej z wierzchołkiem W=(2,-1).

Wierzchołek ma współrzędne W = (2, -1).

f(x)=2(x−1)(x+3)f(x)=2(x-1)(x+3)
Parabola w postaci iloczynowej z miejscami zerowymi -3 i 1.

Miejsca zerowe to 1 oraz -3.

Trening zadań

Funkcja kwadratowa — zadania

Wybierz poziom, rozwiąż zadanie samodzielnie, a później sprawdź odpowiedź lub pełne rozwiązanie.

Poziom: łatwy
Trudność
Wygenerowanełatwy

Miejsca zerowe trójmianu

Rozwiąż równanie x² + 8x + 12 = 0.

Quiz

Sprawdź funkcję kwadratową

1. Dla f(x)=3x2−2x+7f(x)=3x^2-2x+7 współczynnik aa wynosi:

2. Jeśli a<0a<0, ramiona paraboli są skierowane:

3. Ile wynosi delta dla x2−5x+6x^2-5x+6?

4. Miejsca zerowe funkcji f(x)=(x−2)(x+4)f(x)=(x-2)(x+4) to:

5. Wierzchołek funkcji f(x)=(x−3)2+5f(x)=(x-3)^2+5 to:

6. Jeśli Δ<0\Delta<0, funkcja kwadratowa ma: