Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Układy równań liniowych

Metoda podstawiania, metoda przeciwnych współczynników i interpretacja geometryczna układów.

Przejdź do zadańPrzejdź do quizuZagraj w dziale Gry

Układy równań liniowych

Czym jest układ równań?

Układ równań to kilka równań, które muszą być spełnione jednocześnie. Rozwiązaniem układu jest para liczb, która spełnia wszystkie równania w układzie.

Definicja

Układ dwóch równań liniowych

{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}

Rozwiązaniem jest para (x,y)(x,y), która spełnia oba równania.

Przejdź do quizu
Przykłady
{x+y=5x−y=1\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\end{cases}
x=3,y=2x=3,\quad y=2

Para (3,2) spełnia oba równania.

Interpretacja geometryczna

Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi opisuje prostą. Rozwiązanie układu to punkt wspólny tych prostych.

Przypadki

Liczba rozwiązań układu

jedno rozwiązanie: proste przecinają się\text{jedno rozwiązanie: proste przecinają się}
brak rozwiązanˊ: proste są roˊwnoległe\text{brak rozwiązań: proste są równoległe}
nieskonˊczenie wiele rozwiązanˊ: proste pokrywają się\text{nieskończenie wiele rozwiązań: proste pokrywają się}
Przykłady interpretacji geometrycznej

Jedno rozwiązanie

{y=x+1y=−x+3\begin{cases}y=x+1\\y=-x+3\end{cases}
x+1=−x+32x=2x=1y=2\begin{aligned}x+1&=-x+3\\2x&=2\\x&=1\\y&=2\end{aligned}
Dwie proste przecinające się w punkcie (1, 2).

Proste przecinają się w jednym punkcie, więc układ ma jedno rozwiązanie: (1,2).

Brak rozwiązań

{y=x+1y=x−2\begin{cases}y=x+1\\y=x-2\end{cases}
x+1=x−21=−2\begin{aligned}x+1&=x-2\\1&=-2\end{aligned}
Dwie równoległe proste bez punktu wspólnego.

Proste są równoległe, więc nie mają punktu wspólnego. Taki układ nie ma rozwiązań.

Nieskończenie wiele rozwiązań

{y=2x+12y=4x+2\begin{cases}y=2x+1\\2y=4x+2\end{cases}
2y=4x+2⟺y=2x+12y=4x+2\quad \Longleftrightarrow \quad y=2x+1
Dwie proste pokrywające się na tym samym wykresie.

Drugie równanie opisuje tę samą prostą co pierwsze, więc każdy punkt tej prostej spełnia cały układ.

Metoda podstawiania

W metodzie podstawiania wyznaczamy jedną niewiadomą z jednego równania, a potem podstawiamy ją do drugiego równania.

Schemat

Metoda podstawiania

{−2x+y=1x+y=7⇒y=2x+1⇒x+(2x+1)=7\begin{cases}-2x+y=1\\x+y=7\end{cases}\quad \Rightarrow \quad y=2x+1\quad \Rightarrow \quad x+(2x+1)=7
Przykłady
{−2x+y=1x+y=7\begin{cases}-2x+y=1\\x+y=7\end{cases}
−2x+y=1⇒y=2x+1x+(2x+1)=73x+1=73x=6x=2y=2⋅2+1=5\begin{aligned}-2x+y&=1\quad \Rightarrow \quad y=2x+1\\x+(2x+1)&=7\\3x+1&=7\\3x&=6\\x&=2\\y&=2\cdot 2+1=5\end{aligned}

Najpierw wyznaczamy y z pierwszego równania, a potem podstawiamy otrzymany wzór do drugiego równania. Rozwiązaniem jest (2,5).

{x−3y=−1x+y=7\begin{cases}x-3y=-1\\x+y=7\end{cases}
x−3y=−1⇒x=3y−1(3y−1)+y=74y−1=74y=8y=2x=3⋅2−1=5\begin{aligned}x-3y&=-1\quad \Rightarrow \quad x=3y-1\\(3y-1)+y&=7\\4y-1&=7\\4y&=8\\y&=2\\x&=3\cdot 2-1=5\end{aligned}

Tutaj wygodniej wyznaczyć x. Po podstawieniu do drugiego równania zostaje jedno równanie z jedną niewiadomą. Rozwiązaniem jest (5,2).

Metoda przeciwnych współczynników

W tej metodzie dodajemy równania stronami tak, aby jedna niewiadoma się zredukowała.

Schemat

Dodawanie równań stronami

{x+y=6x−y=2⇒2x=8\begin{cases}x+y=6\\x-y=2\end{cases}\quad \Rightarrow \quad 2x=8
Przykłady
{x+y=6x−y=2\begin{cases}x+y=6\\x-y=2\end{cases}
2x=8⟺x=42x=8\quad \Longleftrightarrow \quad x=4

Po podstawieniu y = 2, więc rozwiązaniem jest (4,2).

{2x+3y=122x−y=4\begin{cases}2x+3y=12\\2x-y=4\end{cases}
(2x+3y)−(2x−y)=12−4⟺4y=8⟺y=2(2x+3y)-(2x-y)=12-4\quad \Longleftrightarrow \quad 4y=8\quad \Longleftrightarrow \quad y=2

Po podstawieniu 2x - 2 = 4, więc x = 3. Rozwiązanie: (3,2).

Rodzaje układów

Przypadki

Oznaczony, sprzeczny i nieoznaczony

układ oznaczony: jedno rozwiązanie\text{układ oznaczony: jedno rozwiązanie}
układ sprzeczny: brak rozwiązanˊ\text{układ sprzeczny: brak rozwiązań}
układ nieoznaczony: nieskonˊczenie wiele rozwiązanˊ\text{układ nieoznaczony: nieskończenie wiele rozwiązań}
Przykłady

Układ oznaczony

{x+y=5x−y=1\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\end{cases}
(x,y)=(3,2)(x,y)=(3,2)

Układ sprzeczny

{x+y=2x+y=5\begin{cases}x+y=2\\x+y=5\end{cases}

Te same lewe strony miałyby dawać dwie różne wartości.

Układ nieoznaczony

{x+y=32x+2y=6\begin{cases}x+y=3\\2x+2y=6\end{cases}

Drugie równanie jest wielokrotnością pierwszego.

Trening zadań

Układy równań liniowych — zadania

Wybierz poziom, rozwiąż zadanie samodzielnie, a później sprawdź odpowiedź lub pełne rozwiązanie.

Poziom: łatwy
Trudność
Wygenerowanełatwy

Układ dwóch równań

Rozwiąż podany układ równań.

{x+y=7x−y=1\begin{cases}x+y=7\\x-y=1\end{cases}

Quiz

Sprawdź, czy rozumiesz układy równań liniowych

Odpowiedz na 6 pytań dotyczących rozwiązywania układów i ich interpretacji geometrycznej.

1. Rozwiązaniem układu {x+y=5x−y=1\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\end{cases} jest:

2. W metodzie podstawiania najpierw:

3. Układ {x+y=2x+y=5\begin{cases}x+y=2\\x+y=5\end{cases} jest:

4. Układ {x+y=32x+2y=6\begin{cases}x+y=3\\2x+2y=6\end{cases} jest:

5. Geometrycznie rozwiązanie układu dwóch równań liniowych to:

6. Rozwiąż układ {y=2x+1x+y=7\begin{cases}y=2x+1\\x+y=7\end{cases}.