Równanie prostej

Równanie prostej

Postać kierunkowa prostej

Najczęściej prostą zapisujemy w postaci kierunkowej. Jest to ten sam wzór, który pojawia się przy funkcji liniowej.

Przykłady

$$y=2x+3$$

$$a=2,\quad b=3$$

$$y=-x+4$$

$$a=-1,\quad b=4$$

$$y=5$$

$$a=0,\quad b=5$$

To prosta pozioma.

Współczynnik kierunkowy z dwóch punktów

Jeśli znamy dwa punkty prostej, możemy obliczyć współczynnik kierunkowy $a$.

Przykłady

$$A=(1,3),\quad B=(4,9)$$

$$a=\frac{9-3}{4-1}=\frac{6}{3}=2$$

$$A=(-2,5),\quad B=(2,-3)$$

$$a=\frac{-3-5}{2-(-2)}=\frac{-8}{4}=-2$$

Równanie prostej przez punkt i współczynnik kierunkowy

Jeśli znamy punkt $(x_1,y_1)$ oraz współczynnik kierunkowy $a$, możemy skorzystać z postaci punktowo-kierunkowej.

Przykłady

$$P=(2,5),\quad a=3$$

$$y-5=3(x-2)\quad \Longleftrightarrow \quad y=3x-1$$

$$P=(-1,4),\quad a=-2$$

$$y-4=-2(x+1)\quad \Longleftrightarrow \quad y=-2x+2$$

Proste równoległe i prostopadłe

Przykłady

Proste równoległe

$$y=2x+1,\quad y=2x-5$$

Obie proste mają ten sam współczynnik kierunkowy a = 2.

Proste prostopadłe

$$y=2x+1,\quad y=-\frac{1}{2}x+4$$

$$2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-1$$

Postać ogólna prostej

Prostą można zapisać również w postaci ogólnej.

Przykłady: przejście między postaciami

$$y=2x+3$$

$$2x-y+3=0$$

$$3x+2y-6=0$$

$$2y=-3x+6\quad \Longleftrightarrow \quad y=-\frac{3}{2}x+3$$