Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Funkcja liniowa

Wzór y = ax + b, wykres, miejsca zerowe i interpretacja współczynników.

Przejdź do zadańPrzejdź do quizuZagraj w dziale Gry

Funkcja liniowa

Wzór funkcji liniowej

Funkcja liniowa ma postać:

y=ax+by = ax + b
Przejdź do quizu

Współczynnik aa odpowiada za nachylenie prostej, a współczynnik bb pokazuje, gdzie wykres przecina oś YY.

Przykłady współczynników

y=2x+3y = 2x + 3

a=2a = 2 oraz b=3b = 3

y=−x+4y = -x + 4

a=−1a = -1 oraz b=4b = 4

y=5xy = 5x

a=5a = 5 oraz b=0b = 0

y=−3x−2y = -3x - 2

a=−3a = -3 oraz b=−2b = -2

y=7y = 7

a=0a = 0 oraz b=7b = 7

Uwaga

Współczynnik może być wyrażeniem

Przed współczynnikiem aa może stać bardziej skomplikowane wyrażenie niż jedna liczba całkowita.

Pamiętaj, że całe wyrażenie mnożone przez xx jest współczynnikiem aa, razem ze znakiem.

Analogicznie działa współczynnik bb. Każdy wyraz wolny trzeba uwzględnić we współczynniku bb razem z odpowiednim znakiem.

Przykłady z bardziej złożonymi współczynnikami

y=(2+2)x+3y = (2+\sqrt{2})x + 3

a=2+2a = 2+\sqrt{2}b=3b = 3

y=−(m+1)x+4y = -(m+1)x + 4

a=−(m+1)a = -(m+1)b=4b = 4

y=xy = x

a=1a = 1b=0b = 0

y=−3x−2+3y = -3x - 2 + \sqrt{3}

a=−3a = -3b=−2+3b = -2 + \sqrt{3}

y=mx+py = mx + p

a=ma = mb=pb = p

Co to znaczy, że punkt należy do wykresu funkcji?

Punkt P=(x,y)P=(x,y) należy do wykresu funkcji, jeśli po podstawieniu jego współrzędnych do wzoru funkcji otrzymujemy równość prawdziwą. W praktyce podstawiamy pierwszą współrzędną punktu za xx, a drugą za yy.

Przykłady: czy punkt należy do wykresu?

Punkt należy do wykresu

y=2x+1y = 2x + 1, P=(2,5)P=(2,5)

5=2⋅2+15 = 2 \cdot 2 + 1
5=55 = 5

Równość jest prawdziwa, więc punkt P należy do wykresu funkcji.

Punkt nie należy do wykresu

y=2x+1y = 2x + 1, P=(2,6)P=(2,6)

6=2⋅2+16 = 2 \cdot 2 + 1
6≠56 \neq 5

Równość jest fałszywa, więc punkt P nie należy do wykresu funkcji.

Punkt należy do wykresu

y=−x+3y = -x + 3, P=(−1,4)P=(-1,4)

4=−(−1)+34 = -(-1) + 3
4=44 = 4

Po podstawieniu dostajemy prawdę, więc punkt leży na prostej.

Punkt nie należy do wykresu

y=3x−2y = 3x - 2, P=(1,2)P=(1,2)

2=3⋅1−22 = 3 \cdot 1 - 2
2≠12 \neq 1

Po podstawieniu dostajemy fałsz, więc punkt nie leży na wykresie.

Co oznacza zapis f(x)=yf(x)=y?

Zapis f(x)=yf(x)=y oznacza, że dla argumentu xx funkcja przyjmuje wartość yy. Na przykład f(1)=2f(1)=2 mówi, że po podstawieniu x=1x=1 do wzoru funkcji otrzymujemy wynik 22.

f(1)=2f(1)=2
argument: x=1,wartosˊcˊ: y=2\text{argument: } x=1,\quad \text{wartość: } y=2
Przykłady: odczytywanie zapisu f(x)=yf(x)=y

Przykład

f(x)=2x+1f(x)=2x+1

Dana informacja: f(1)=3f(1)=3

f(1)=2⋅1+1f(1)=2\cdot 1+1
f(1)=3f(1)=3

Dla argumentu 1 wartość funkcji wynosi 3.

Przykład

f(x)=−x+4f(x)=-x+4

Dana informacja: f(2)=2f(2)=2

f(2)=−2+4f(2)=-2+4
f(2)=2f(2)=2

Dla argumentu 2 funkcja przyjmuje wartość 2.

Przykład

f(x)=3x−5f(x)=3x-5

Dana informacja: f(0)=−5f(0)=-5

f(0)=3⋅0−5f(0)=3\cdot 0-5
f(0)=−5f(0)=-5

Dla argumentu 0 wartością funkcji jest -5.

Przykład

f(x)=−2x+6f(x)=-2x+6

Dana informacja: f(3)=0f(3)=0

f(3)=−2⋅3+6f(3)=-2\cdot 3+6
f(3)=0f(3)=0

Dla argumentu 3 wartość funkcji wynosi 0, więc x = 3 jest miejscem zerowym.

Interpretacja współczynnika aa

Współczynnik aa mówi o nachyleniu prostej: wykres może rosnąć, maleć albo być poziomy.

a > 0

y=xy = x
Wykres funkcji y = x

Wykres rośnie, czyli gdy x się zwiększa, wartości y też rosną.

a < 0

y=−xy = -x
Wykres funkcji y = -x

Wykres maleje, czyli gdy x się zwiększa, wartości y spadają.

a = 0

y=2y = 2
Wykres funkcji y = 2

Wykres jest poziomy, więc funkcja ma stałą wartość.

Interpretacja współczynnika bb

Współczynnik bb w funkcji y=ax+by = ax + b mówi, w którym miejscu wykres przecina oś YY. Jest to punkt (0,b)(0,b).

y=x+2y = x + 2

Wykres funkcji y = x + 2 z zaznaczonym przecięciem z osią Y

b = 2, więc prosta przecina oś Y w punkcie (0, 2).

y=x−2y = x - 2

Wykres funkcji y = x - 2 z zaznaczonym przecięciem z osią Y

b = -2, więc prosta przecina oś Y w punkcie (0, -2).

y=xy = x

Wykres funkcji y = x z zaznaczonym przecięciem z osią Y

b = 0, więc prosta przechodzi przez początek układu.

Miejsce zerowe funkcji liniowej

Miejsce zerowe to argument x0x_0, dla którego wartość funkcji jest równa zero. Na wykresie jest to punkt przecięcia prostej z osią XX.

0=ax+b0 = ax + b
x0=−ba,a≠0x_0 = -\frac{b}{a}, \quad a \neq 0

y=x−2y = x - 2

Wykres funkcji y = x - 2 z zaznaczonym miejscem zerowym
x0=−−21=2x_0 = -\frac{-2}{1} = 2

Miejsce zerowe to x₀ = 2.

y=−x+3y = -x + 3

Wykres funkcji y = -x + 3 z zaznaczonym miejscem zerowym
x0=−3−1=3x_0 = -\frac{3}{-1} = 3

Miejsce zerowe to x₀ = 3.

y=2x+4y = 2x + 4

Wykres funkcji y = 2x + 4 z zaznaczonym miejscem zerowym
x0=−42=−2x_0 = -\frac{4}{2} = -2

Miejsce zerowe to x₀ = -2.

Trening zadań

Funkcja liniowa — zadania

Wybierz poziom, rozwiąż zadanie samodzielnie, a później sprawdź odpowiedź lub pełne rozwiązanie.

Poziom: łatwy
Trudność
Wygenerowanełatwy

Wartość funkcji liniowej

Dla f(x) = 4x − 7 oblicz f(3).

Quiz

Sprawdź, czy rozumiesz funkcję liniową

Odpowiedz na 5 pytań dotyczących współczynników, wykresu i miejsca zerowego.

1. Dla funkcji y=−3x+5y = -3x + 5 współczynniki wynoszą:

2. Funkcja y=−2x+1y = -2x + 1 jest:

3. Na podstawie wykresu jaka może być wartość współczynnika aa?

Wykres rosnącej funkcji liniowej

4. Na podstawie wykresu jaka może być wartość współczynnika bb?

Wykres funkcji liniowej z zaznaczonym przecięciem z osią Y

5. Na podstawie wykresu jakie może być miejsce zerowe?

Wykres funkcji liniowej z zaznaczonym miejscem zerowym