Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Równania i nierówności

Równania liniowe, równania równoważne, nierówności liniowe i zasady przekształcania.

Przejdź do zadańPrzejdź do quizuZagraj w dziale Gry

Równania i nierówności

Czym jest równanie?

Równanie to zestawienie dwóch wyrażeń algebraicznych (lewa i prawa strona równania) z przynajmniej jedną niewiadomą, pomiędzy którymi jest znak równości (=).

Definicja

Równanie z jedną niewiadomą

L(x)=P(x)L(x)=P(x)

Liczba x0x_0 jest rozwiązaniem, jeśli po podstawieniu jej za xx (x=x0x=x_0) lewa strona jest równa prawej stronie.

Przejdź do quizu
Przykłady
2x+3=112x+3=11

/-3

odejmujemy 3 od obu stron

2x=82x=8

/:2

dzielimy obie strony przez 2

x=4x=4

2⋅4+3=112\cdot4+3=11

sprawdzamy przez podstawienie

Liczba 4 jest rozwiązaniem, bo po podstawieniu otrzymujemy prawdę.

x−5=2x-5=2

/+5

dodajemy 5 do obu stron

x=7x=7

Równania równoważne

Równania równoważne mają taki sam zbiór rozwiązań. Podczas rozwiązywania równania wykonujemy działania, które nie zmieniają jego rozwiązań.

Zasady

Co można zrobić z równaniem?

Do obu stron równania można dodać tę samą liczbę lub to samo wyrażenie.

L=P⟺L+a=P+aL=P \quad \Longleftrightarrow \quad L+a=P+a

Od obu stron równania można odjąć tę samą liczbę lub to samo wyrażenie.

L=P⟺L−a=P−aL=P \quad \Longleftrightarrow \quad L-a=P-a

Obie strony równania można pomnożyć przez tę samą liczbę różną od zera.

L=P⟺cL=cP,c≠0L=P \quad \Longleftrightarrow \quad cL=cP,\quad c\neq0

Obie strony równania można podzielić przez tę samą liczbę różną od zera.

L=P⟺Lc=Pc,c≠0L=P \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{L}{c}=\frac{P}{c},\quad c\neq0

Uwaga

Nie wolno dzielić równania przez wyrażenie, które może być równe zero, bez wcześniejszego sprawdzenia warunków.

Równania liniowe

Równanie liniowe z jedną niewiadomą można sprowadzić do postaci ax+b=0ax+b=0.

Wzór

Rozwiązanie równania liniowego

ax+b=0,a≠0ax+b=0,\quad a\neq0
x=−bax=-\frac{b}{a}
Przykłady: równania liniowe
3x−6=03x-6=0

/+6

dodajemy 6 do obu stron

3x=63x=6

/:3

dzielimy obie strony przez 3

x=2x=2

2(x−3)+4=102(x-3)+4=10

opuszczamy nawias

2x−6+4=102x-6+4=10

redukujemy wyrazy podobne

2x−2=102x-2=10

/+2

dodajemy 2 do obu stron

2x=122x=12

/:2

dzielimy obie strony przez 2

x=6x=6

5x+2=2x−75x+2=2x-7

/-2x

odejmujemy 2x od obu stron

3x+2=−73x+2=-7

/-2

odejmujemy 2 od obu stron

3x=−93x=-9

/:3

dzielimy obie strony przez 3

x=−3x=-3

Równanie sprzeczne i tożsamościowe

Przypadki

Ile rozwiązań może mieć równanie?

0x=b,b≠0⇒brak rozwiązanˊ0x=b,\quad b\neq0 \quad \Rightarrow \quad \text{brak rozwiązań}
0x=0⇒nieskonˊczenie wiele rozwiązanˊ0x=0 \quad \Rightarrow \quad \text{nieskończenie wiele rozwiązań}
Przykłady

Równanie sprzeczne

2x+1=2x+52x+1=2x+5
1=51=5

To fałsz, więc równanie nie ma rozwiązań.

Równanie tożsamościowe

3(x+2)=3x+63(x+2)=3x+6
3x+6=3x+63x+6=3x+6

To prawda dla każdej liczby x.

Czym jest nierówność?

Nierówność porównuje dwie strony za pomocą znaków <, >, ≤, ≥<,\ >,\ \le,\ \ge. Rozwiązaniem nierówności jest zbiór liczb, które po podstawieniu dają nierówność prawdziwą.

Definicja

Nierówność z jedną niewiadomą

L(x)<P(x)L(x)<P(x)

Lewa strona jest mniejsza od prawej.

L(x)>P(x)L(x)>P(x)

Lewa strona jest większa od prawej.

L(x)≤P(x)L(x)\le P(x)

Lewa strona jest mniejsza lub równa prawej.

L(x)≥P(x)L(x)\ge P(x)

Lewa strona jest większa lub równa prawej.

Przekształcanie nierówności

Zasady

Co można zrobić z nierównością?

Do obu stron nierówności można dodać tę samą liczbę lub to samo wyrażenie.

L<P⟺L+a<P+aL<P \quad \Longleftrightarrow \quad L+a<P+a

Od obu stron nierówności można odjąć tę samą liczbę lub to samo wyrażenie.

L<P⟺L−a<P−aL<P \quad \Longleftrightarrow \quad L-a<P-a

Obie strony nierówności można pomnożyć przez tę samą liczbę dodatnią. Znak nierówności zostaje bez zmian.

c>0:L<P⟺cL<cPc>0:\quad L<P \quad \Longleftrightarrow \quad cL<cP

Obie strony nierówności można podzielić przez tę samą liczbę dodatnią. Znak nierówności zostaje bez zmian.

c>0:L<P⟺Lc<Pcc>0:\quad L<P \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{L}{c}<\frac{P}{c}

Gdy mnożymy obie strony nierówności przez liczbę ujemną, znak nierówności zmienia kierunek.

c<0:L<P⟺cL>cPc<0:\quad L<P \quad \Longleftrightarrow \quad cL>cP

Gdy dzielimy obie strony nierówności przez liczbę ujemną, znak nierówności zmienia kierunek.

c<0:L<P⟺Lc>Pcc<0:\quad L<P \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{L}{c}>\frac{P}{c}

Uwaga

Gdy mnożysz albo dzielisz nierówność przez liczbę ujemną, znak nierówności zmienia kierunek.

Przykłady: zmiana znaku nierówności
−2x<6-2x<6

/:(-2)

dzielimy przez -2, więc zmieniamy znak

x>−3x>-3

Dzielimy przez -2, więc znak nierówności zmienia kierunek.

3x−4≤83x-4\le 8

/+4

dodajemy 4 do obu stron

3x≤123x\le12

/:3

dzielimy przez 3, znak zostaje

x≤4x\le4

Nierówności liniowe

Nierówność liniową rozwiązujemy podobnie jak równanie liniowe, ale pamiętamy o zmianie znaku przy mnożeniu lub dzieleniu przez liczbę ujemną.

Przykłady: nierówności liniowe
2x+5>132x+5>13

/-5

odejmujemy 5 od obu stron

2x>82x>8

/:2

dzielimy przez 2, znak zostaje

x>4x>4

5−3x≥145-3x\ge 14

/-5

odejmujemy 5 od obu stron

−3x≥9-3x\ge9

/:(-3)

dzielimy przez -3, więc zmieniamy znak

x≤−3x\le -3

4(x−1)<2x+64(x-1)<2x+6

opuszczamy nawias

4x−4<2x+64x-4<2x+6

/-2x

odejmujemy 2x od obu stron

2x−4<62x-4<6

/+4

dodajemy 4 do obu stron

2x<102x<10

/:2

dzielimy przez 2, znak zostaje

x<5x<5

Trening zadań

Równania i nierówności — zadania

Wybierz poziom, rozwiąż zadanie samodzielnie, a później sprawdź odpowiedź lub pełne rozwiązanie.

Poziom: łatwy
Trudność
Wygenerowanełatwy

Równanie liniowe

Rozwiąż równanie 5x + 2 = -8.

Quiz

Sprawdź, czy rozumiesz równania i nierówności

Odpowiedz na 8 pytań dotyczących równań liniowych, nierówności i przekształceń równoważnych.

1. Rozwiąż równanie 3x−6=03x-6=0.

2. Rozwiąż równanie 2x+5=132x+5=13.

3. Równanie 2x+1=2x+52x+1=2x+5 jest:

4. Równanie 3(x+2)=3x+63(x+2)=3x+6 ma:

5. Rozwiąż nierówność 2x+5>132x+5>13.

6. Rozwiąż nierówność −2x<6-2x<6.

7. Co dzieje się ze znakiem nierówności, gdy dzielimy przez liczbę ujemną?

8. Rozwiąż nierówność 5−3x≥145-3x\ge14.