Przejdź do treści
Czas Matematyki
0%

Wartość bezwzględna

Definicja wartości bezwzględnej, własności, równania i nierówności.

Przejdź do zadańPrzejdź do quizuZagraj w dziale Gry

Wartość bezwzględna

Czym jest wartość bezwzględna?

Wartość bezwzględna liczby mówi, jak daleko ta liczba leży od zera na osi liczbowej. Dlatego wynik wartości bezwzględnej nigdy nie jest ujemny.

Definicja

Wartość bezwzględna jako odległość od zera

∣a∣=odległosˊcˊ liczby a od zera|a|=\text{odległość liczby }a\text{ od zera}
Przejdź do quizu
Przykłady
Wizualizacja odległości liczby 7 od zera na osi liczbowej

Liczba 7 leży 7 jednostek od zera.

Wizualizacja odległości liczby -7 od zera na osi liczbowej

Liczba -7 też leży 7 jednostek od zera.

Wizualizacja odległości liczby 0 od zera na osi liczbowej

Definicja algebraiczna

Jeśli liczba jest nieujemna, wartość bezwzględna jej nie zmienia. Jeśli liczba jest ujemna, zmienia jej znak.

Definicja

Postać klamrowa wartości bezwzględnej

∣x∣={xdla x≥0−xdla x<0|x|=\begin{cases}x & \text{dla }x\ge0\\-x & \text{dla }x<0\end{cases}
Przykłady
∣5∣=5|5|=5
∣−12∣=−(−12)=12|-12|=-(-12)=12
∣2−5∣=5−2|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2
2−5≈2−2,236=−0,236<02-\sqrt{5}\approx 2-2{,}236=-0{,}236<0

Ponieważ 2−52-\sqrt{5} jest liczbą ujemną, zmieniamy znak całego wyrażenia.

∣2−3∣=2−3|2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}
2−3≈2−1,732=0,268>02-\sqrt{3}\approx 2-1{,}732=0{,}268>0

Ponieważ 2−32-\sqrt{3} jest dodatnie, wartość bezwzględna nie zmienia tego wyrażenia.

Najważniejsze własności

Twierdzenia

Własności wartości bezwzględnej

∣a∣≥0|a|\ge0
∣−a∣=∣a∣|-a|=|a|
∣ab∣=∣a∣⋅∣b∣|ab|=|a|\cdot|b|
∣ab∣=∣a∣∣b∣,b≠0\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|},\quad b\neq0
a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a|
Przykłady
∣−3⋅4∣=∣−12∣=12=∣−3∣⋅∣4∣|-3\cdot 4|=|-12|=12=|-3|\cdot|4|
∣−62∣=∣−3∣=3=∣−6∣∣2∣\left|\frac{-6}{2}\right|=|-3|=3=\frac{|-6|}{|2|}
(−8)2=∣−8∣=8\sqrt{(-8)^2}=|-8|=8

Równania z wartością bezwzględną

Zasada

Rozbijanie równania na dwa przypadki

∣x∣=a,a>0⟺x=a lub x=−a|x|=a,\quad a>0 \quad \Longleftrightarrow \quad x=a\ \text{lub}\ x=-a

Uwaga

Równanie ∣x∣=a|x|=a nie ma rozwiązań, jeśli a<0a<0, bo wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna.

Przykłady
∣x∣=5|x|=5
x=5x=5
lub
x=−5x=-5
x∈{−5, 5}x\in\{-5,\ 5\}
∣x−2∣=3|x-2|=3
x−2=3x-2=3
lub
x−2=−3x-2=-3
x−2=3x=5\begin{aligned} x-2&=3\\ x&=5 \end{aligned}
x−2=−3x=−1\begin{aligned} x-2&=-3\\ x&=-1 \end{aligned}
x∈{−1, 5}x\in\{-1,\ 5\}

Najpierw rozwiązujemy pierwsze równanie, a potem drugie. Na końcu zbieramy oba wyniki.

∣2x+1∣=7|2x+1|=7
2x+1=72x+1=7
lub
2x+1=−72x+1=-7
2x+1=72x=6x=3\begin{aligned} 2x+1&=7\\ 2x&=6\\ x&=3 \end{aligned}
2x+1=−72x=−8x=−4\begin{aligned} 2x+1&=-7\\ 2x&=-8\\ x&=-4 \end{aligned}
x∈{−4, 3}x\in\{-4,\ 3\}

Nierówności z wartością bezwzględną

Zasady

Odległość mniejsza albo większa od a

∣x∣<a⟺−a<x<a,a>0|x|<a \quad \Longleftrightarrow \quad -a<x<a,\quad a>0
∣x∣>a⟺x<−a lub x>a,a>0|x|>a \quad \Longleftrightarrow \quad x<-a\ \text{lub}\ x>a,\quad a>0
Przykłady
∣x∣<4⟺−4<x<4|x|<4 \quad \Longleftrightarrow \quad -4<x<4
x∈(−4, 4)x\in(-4,\ 4)
∣x∣>4⟺x<−4 lub x>4|x|>4 \quad \Longleftrightarrow \quad x<-4\ \text{lub}\ x>4
x∈(−∞, −4)∪(4, ∞)x\in(-\infty,\ -4)\cup(4,\ \infty)
∣x−1∣≤3⟺−3≤x−1≤3|x-1|\le3 \quad \Longleftrightarrow \quad -3\le x-1\le3
−2≤x≤4x∈[−2, 4]\begin{aligned} -2&\le x\le4\\ x&\in[-2,\ 4] \end{aligned}

Jak wygląda zbiór rozwiązań na osi?

Wartość bezwzględna opisuje odległość. Jeśli szukamy liczb, których odległość od punktu jest mała, rozwiązaniem jest przedział między dwiema liczbami. Jeśli szukamy liczb, których odległość jest duża, rozwiązanie leży na zewnątrz tego przedziału.

Nierówność skierowana w stronę mniejszych wartości

Gdy mamy znak << albo ≤\le, rozwiązaniem jest jeden przedział.

∣x−1∣≤3|x-1|\le3
−3≤x−1≤3-3\le x-1\le3
−2≤x≤4-2\le x\le4
x∈[−2, 4]x\in[-2,\ 4]
Zbiór rozwiązań nierówności |x-1| mniejsze lub równe 3 zaznaczony na osi liczbowej

Nierówność skierowana w stronę większych wartości

Gdy mamy znak >> albo ≥\ge, rozwiązaniem są dwa przedziały: z lewej i z prawej strony.

∣x−1∣>3|x-1|>3
x−1<−3lubx−1>3x-1<-3\quad \text{lub}\quad x-1>3
x<−2lubx>4x<-2\quad \text{lub}\quad x>4
x∈(−∞, −2)∪(4, ∞)x\in(-\infty,\ -2)\cup(4,\ \infty)
Zbiór rozwiązań nierówności |x-1| większe od 3 zaznaczony na osi liczbowej

Trening zadań

Wartość bezwzględna — zadania

Wybierz poziom, rozwiąż zadanie samodzielnie, a później sprawdź odpowiedź lub pełne rozwiązanie.

Poziom: łatwy
Trudność
Wygenerowanełatwy

Wartość bezwzględna liczby

Oblicz |11|.

Quiz

Sprawdź, czy rozumiesz wartość bezwzględną

Odpowiedz na 6 pytań dotyczących definicji, równań i nierówności z wartością bezwzględną.

1. Ile wynosi ∣−9∣|-9|?

2. Ile wynosi (−6)2\sqrt{(-6)^2}?

3. Rozwiązania równania ∣x∣=4|x|=4 to:

4. Rozwiąż ∣x−3∣=2|x-3|=2.

5. Nierówność ∣x∣<3|x|<3 oznacza:

6. Nierówność ∣x∣>3|x|>3 oznacza: